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巧用定义解决双曲线的常见问题
现行高中数学（北师大版）选修2-1第三章，介绍了双曲线的定义、标准方程既简单的几何性质。学生们学习虽然感到以上只是简单也比较好掌握。但涉及解决与双曲线有关的问题时，老师存在一些不得心应手的感觉。在教学中，本人通过对教材的分析和学生学习情况调查认为，深入理解双曲线的定义。灵活运用双曲线的定义就可以解决双曲线常见的问题。 一、巧用定义解决求值问题
x2y2
1上一点P与左右焦点F1,F2构成 F1PF2，求 F1PF2的内切例1、 双曲线94
圆与边F1F2的切点N的坐标。
分析：设点P在已知双曲线的右支上，要求点N的坐标。即求ON的长度，而其中OF2 c ，只需求NF2的长度，即NF2是圆⊙M的ON OF2 OF1，
一条切线长，可用平面几何知识（切线长定理）求解。 解：设点P在已知双曲线的右支上，由题意得NF2
PF2 F1F2 PF1
2
，
PF2 PF1 2a， NF2
2a 2c
c a，又 c ，a 3，2
NF2 3，又OF2 c ， ON OF2 NF2 ( 3)
当点P在已知双曲线的右支上时，切点N为顶点(3,0),当点P在已知双曲线的左支上时，切点N为顶点( 3,0)
x2y2
1的左右焦点，A为双曲线的左顶点，P在双曲例2、 已知F1、F2是双曲线
916
线的左支上， PF2F1 ，PF1F2 ，求tan
2
cot
2
的值
分析：如右图，先做出 PF1F2的内切圆⊙M，则⊙M切F1F2于点A，MA等于内切圆的半径。且 MF2F1
2
，MF1A
2
解：做出 PF1F2的内切圆⊙M，则⊙M切F1F2于点A，
MF2F1
2
，
MF1A
2
，
tan
2
AMAF2
rr
a c8
，
cot
2
AF2AM
r21c a2
， tan cot
228r4rr
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