(教案)抛物线经典例题

抛物线习题精选精讲

（1）抛物线——二次曲线的和谐线

椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.

【例1】P为抛物线y 2px上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴（ ）

2

A.相交 B.相切 C.相离 D.位置由P确定

【解析】如图，抛物线的焦点为F

p

,0 ，准线是 2

p

.作PH⊥l于H，交y轴于Q，那么PF PH， 2

p

且QH OF .作MN⊥y轴于N则MN是梯形PQOF的

2111

中位线，MN OF PQ PH PF.故以

222l:x

lPF为直径的圆与y轴相切，选B.

【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则 分别是相离或相交的.

（2）焦点弦——常考常新的亮点弦

有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.

【例2】 过抛物线y 2px p 0 的焦点F作直线交抛物线于A x1,y1 ,B x2,y2 两点，求证：

2

（1AB x1 x2 p （2112

AFBFp

【证明】（1）如图设抛物线的准线为l，作

AA1 lA1,BB1 l于B1，则AF AA1 x1

p

， 2

YAp

BF BB1 x2 .两式相加即得：

2

AB x1 x2 p

（2）当AB⊥x轴时，有

11

AF BF p，

112

成立； AFBFp

12

l

当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：

p

y k x .代入抛物线方程：

2