当前位置： 文档下载 > 所有分类 > 高等教育 > 理学 > 最小二乘法讲义§7 向量到子空间的最小距离·最小二乘法
在解析几何中，两个点 和 间的距离等于向量 定义13 长度
的长度.
称为向量 和 的距离，记为d( , )
不难证明距离的三条性质： 1）d( , )2）d( , )3）d( , )
d( , ) 0
;
，并且仅当 时等号才成立；
d( , ) d( , )
（三角不等式）
在中学所学几何中知道一个点到一个平面（一条直线）上所有点的距离以垂线最短.下面可以证明一个固定向量和一个子空间中各向量间的距离也是以“垂线最短”.
先设一个子空间W，它是由向量 1, 2, , k所生成，即W
L( 1, 2, , k)
.
说一个向量 垂直于子空间W，就是指向量 垂直W于中任何一个向量.易证 垂直于W的充要条件是 垂直于每个 i(i
1,2, ,k)
.
现给定 ，设 是W中的向量，满足
垂直于W.要证明 到W中各向
量的距离以垂线最短，就是要证明，对于W中任一向量 ，有
.
我们可以画出下面的示意图： 证明
( ) ( )
因W是子空间，
W, W
,则
W
.故
垂直于 .由勾股定理，
2
2
2
故
这就证明了，向量到子空间各向量间的距离以垂线最短.
这个几何事实可以用来解决一些实际问题.其中的一个应用就是解决最小二乘法问题.
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