基于一些特殊分块矩阵的行列式的研究

该文利用拉普拉斯展开定理以及行列式的性质得出了一些特殊分块矩阵的行列式,并举例说明它们在计算和证明当中的应用.

4 8

数学教学研究

第 2卷第 l 9 2期

21 0 0年 l月 2

基于一些特殊分块矩阵的行列式的研究 耿丽芳 t中师范高等专科学校。山西晋中晋 000) 3 6 0

摘

要：文利用拉普拉斯辰开定理以及行列式的性质得出了一些特殊分块矩阵的行列式 .该并举例

说明它们在计算和证明当中的应用 . 关键词：块矩阵；列式；普拉斯定理分行拉中图分类号：)5 . (l 1 2

矩阵 _用替干条纵线和横线分成许多 A个小矩阵，一个小矩阵称为 A的子块，每以

当 D面逆时，为】因

r -B~]A z D『 B] o E

子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 分块矩阵在矩阵理沦中起着一重要的作卜分

儿c D J DJ ’

r A—BD ( 0]

用，亡 j l其是对于行数和列数较高的矩阵，通过 矩阵分块洼 .以使人矩阵的运算转化为小町阵的运算.殳卡川托拉斯展开定理以冬 J l 及行列式的性质，出一蝼特殊分块矩阵的得

一l C 两边取行列式得

f H—Dl B I 2 l D ltI— Dc ( A l A ( ) 联系 () ()证 . 1、2得

行列式公式，并举例说明这些公式在计算和 证明当中的应用. 1引理

定理 2设 B与 C分别为阶与阶可

引理 (普拉斯展开定理 ),阶行列拉在 z式 D中任取走行 (≤是 7 1 (壶列 )由 1≤ z )或—,

逆，三 c) I- -阵 f f一一 A1则— II C l cB . D 一

这是行 (是列 )或所组成的一切忌级子式与它

( ) l I一1 I c—DB A I B . 证明当 C可逆时，因为

们的代数余子式的乘积的和等于行列式 D. 2定理及其证明

l— c『 B A]A] E o E儿c DJ 一

定理 1设 A与 D分别为阶与”阶 I B} A

可阵则I }l~A‘l逆， ( I Al C B D一 D IA—B’ i I D D c1 . 证明当 A可逆时，为 因 r E 0] A B]

L~c][ BA。 D I C,。

两边取行列式得

}三 c - A。 c A

I一 t c I s c— c—;, B 当 B可逆时，因为

lC El D—A j j c :==

L— [ DC。,一 B A。 0 B] Aj

I r E L—DB 广 一

0『A B]] I l r E儿 C D_ J R] A

两边取行列式得

{三 l。Ci c A IA一 -; c= A一，: B 收稿日期：00 1—0 2 1— 1 1

L D j C A o, -

两边取行列式得