空间解析几何

整体上算是比较基础的。适合学习工科数分的同学。

空间解析几何

空间解析几何是在三维坐标系中，用代数方法研究空间曲面和曲线性质的一个数学分支。这份讲义主要介绍线性空间中向量的线性运算，向量内积、外积和混合积，并讨论直线、平面和各类二次曲面。这些知识是学习多元微积分的必要准备。

§1 空间直角坐标系

我们知道，建立了平面直角坐标系后，平面上的每一点都与其坐标一一对应，这样就定量地确定了平面上的任一点位置。为了定量地确定空间上每一点的位置，我们需要建立空间直角坐标系。

在空间取定一点O，过点O作三条相互垂直的数轴，它们都以O为原点，且都取相同的长度单位。这三条数轴通常分别称为x轴，y轴和z轴，统称坐标轴。它们的正方向要符合右手定则，即以右手握住z轴，当右手的四个手指从x轴正向以π/2角度转向y轴正向时，拇指的指向就是z轴的正向。这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系。点O称为坐标原点，简称原点。习惯上把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则铅垂向上，当然它们要符合右手定则。

由x轴和y轴确定的平面称为Oxy平面，由y轴和z轴确定的平面称为Oyz平面，由z轴和x轴确定的平面称为Ozx平面。统称坐标平面。三张坐标平面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限。含有x轴，y轴和z轴正半轴的那个卦限称为第I卦限，第II、第III、第IV卦限在Oxy平面上方，依逆时针方向依次确定。第V、VI、VII、VIII卦限在Oxy平面下方，由第I卦限之下的第V卦限，依逆时针方向依次确定。

对于空间上的任一点M，过点M作三张平

图1.1 面分别垂直于x轴，y轴和z轴，且与这三个轴

分别交于P，Q，R三点（见图1.1），这三点在x轴，y轴和z轴的坐标依次为

x,y,z，那么点M唯一确定了一个R3中的元素(x,y,z)（此处，我们用行向量来表示向量）；反之，对于R3中的元素(x,y,z)，分别在x轴，y轴和z轴上取坐标为x,y,z的点P，Q，R，然后通过P，Q，R分别作垂直于x轴，y轴和z轴平面。这三张平面的交点便是由(x,y,z)所确定的点。这样一来，我们就建立了空间上的点M与R3中的元素(x,y,z)的一一对应关系。称(x,y,z)为M的坐标。

显然，原点O的坐标为(0,0,0)。我们常将坐标为(x,y,z)的点M记为M(x,y,z)。

设M1(x1,y1,z1)，M2(x2,y2,z2)为空间上两点。过M1,M2各作三张平面分别垂直于三个坐标轴。，这六张平面围成一个以线段M1M2为对角线的长方体（见图1.2，这些平面与三个坐标轴的交点如图所示）。

M1与M2的距离d就是线段M1M2的长度|M1M2|。由于

d2=

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