圆锥曲线过焦点的弦长公式

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数学教学研究 第30卷第1期 2011年1月

圆锥曲线过焦点的弦长公式

徐耀斌

(甘肃省秦安县第二中学 741600)

在数学教学和学生的数学学习过程中常常会遇到过椭圆、双曲线、抛物线焦点弦长的计算问题,为了计算方便,下面通过这3种圆锥曲线的定义推导出它们在标准方程下所对应的弦长公式.1

椭圆

以焦点在x轴上

22的标准方程+=1

ab

(a>b>0)为例.设弦AB所在直线的斜率为k,且过右焦点F2

图1

(c,0)(如图1).

( )当k存在时,设直线AB为y=k(x-c),222222bx+ay=ab,y=k(x-c),222222

得 (ak+b)x-2ackx

+a2(c2k2-b2)=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则

22x1+x2=,ak+b

于是

|A|=|F2|+BF2|

22=-x1e+-x2e

cc=2a-(x1+x2)

a22=.

ak+b

( )当k,弦AB与x轴垂直,

22

-ce=.|AB|=2

ac

当弦AB过左焦点F1时,其结论与过右焦点F2是相同的.

22

对于焦点在y

轴上的标准方程2+2

=1(a>b>0),同理可得弦长公式为:当k存22在时|AB|=;当k不存在时

b2k2+a2|AB|=2a(长轴).2 双曲线

22

以焦点在x轴上的标准方程2-2=1

ab(a>0,b>0)为例,设弦AB所在直线的斜率为k,且过右焦点F2(c,0)(c>0).

( )当k存在时,设直线AB为y=k(x-c),b2x2-a2y2=a2b2,

y=k(x-c),得 (b2-a2k2)x2+2a2ck2x

-a2(c2k2+b2)=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-.

b-ak当k>时,弦AB的

a两个端点同在右支曲线上(如图2),于是

AB=AF2+BF222=x1-e+ecc=(x1+x2)-2aa22=;

ak-b时,a

弦AB的两个端点在

当0!k<左右两支曲线上(如图3),于是

图3

2

2

2

图2