复变函数论第三版课后习题答案[1]

第一章习题解答

（一）

1

．设z

2 2e

z

及Arcz。

3i

解：由于z

3

2k ,k 0, 1,

所以z 1，Arcz2

．设z

1

。

z1z2

z2

1，试用指数形式表示z1z2及

i

。

解：由于z1

6

e

i

4

,z2

6i

(

i 2e

4

i

所以z1z2 e

4

2e

6

2e

)i

2e

5 i

12

i

z1z2

e42e

i

6

i

12

e

(

4

6

)i

12

e

12

。

3．解二项方程z4 a4 0,(a 0)。

1

2k

4

2

解：z

(ae) ae

2

4 i

4

i

,k 0,1,2,3。

4．证明z1 z2 z1 z2

2

2

2(z1 z2)，并说明其几何意义。 z2

2

证明：由于z1 z2 z1 z2 所以z1 z2

2

z1 z2

2Re(z1z2) 2Re(z1z 2)

2

2

2

2

2

2

z1 z2 2(z1 z2)

其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z1，z2，z3三点适合条件：接于单位圆证 由于

z 1

z1 z2 z3 0

,

z1 z2 z3 1

。证明z1，z2，z3是内

的一个正三角形的顶点。

，知

z1z2z3

z1 z2 z3 1

1 z3

3

的三个顶点均在单位圆上。

因为

z33

z1 z2 1 2 z11 z22 z32 1z2

2 z12 1z2

所以， 又

z12 1z2 1，

z1 z2

2

(z1 z2)(1 2) z11 z22 (z12 z21)

2 z12 1z2 3