求曲线轨迹方程专题

求曲线轨迹方程专题复习资料,比较典型和基础。

轨 迹 方 程 问 题

常见的有六种求轨迹方程的方法：

①待定系数法：由几何量确定轨迹方程； ②定义法：根据曲线的定义，求轨迹方程；

③直接法：给出某些条件（几何、三角或向量表达式等）求轨迹方程； ④“代入法”求轨迹方程；

⑥参数法（包括解决中点弦问题的点差法）求轨迹方程． ⑤“交轨法”求轨迹方程；

1．直接法求轨迹方程．给出某种条件：平面几何、三角函数、解析几何、向量形式等．求解程序：①设动点P的坐标为P(x，y)；②按题目的条件写出关系式；③整合关系式；④注明范围．

例1．设m R,在平面直角坐标系中,已知向量a (mx,y 1),向量b (x,y 1),a b，

动点M(x,y)的轨迹为E．求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状；

22

解：因为a b,a (mx,y 1),b (x,y 1)，所以a·b＝mx y 1 0，

即 mx y 1．

当m＝0时，方程表示两条直线：y 1； 当m 1时，方程表示的是圆：x y 1； 当m＞0且m 1时，方程表示的是椭圆； 当m＜0时,方程表示的是双曲线．

2．根据圆锥曲线的定义，求轨迹方程

例2．如图,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点）

，使得PM 试建立适当的坐标系，并求动点 P的轨迹方程.

解：如图，以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则两圆心分别为O1( 2,0),O2(2,0)．设P(x,，则，同理y

2

2

2

2

PN2 (x 2)2 y2 1．PM2 O1P2 O1M2 (x 2)2 y2 1

∵PM ，

∴(x 2)2 y2 1 2[(x 2)2 y2 1]， 即x2 12x y2 3 0，即(x 6)2 y2 33． 这就是动点P的轨迹方程． 注：动圆圆心轨迹问题

M

N

①动圆与两外离定圆均外切(含相交)；②动圆过定点且定圆外切；③动圆过定点且定直线相切；④动圆与两定圆一个外切，一个内切；⑤动圆过定点且定圆相切． 3．参数法求轨迹方程：