高考数学难点突破_难点__函数值域及求法

难点6 函数值域及求法

函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题.

●难点磁场

1

). m 1

(1)证明：当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M.

(2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值.

(3)求证：对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1. ●案例探究 ［例1］设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传

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画所用纸张面积最小？如果要求λ∈［,］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积

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最小？

命题意图：本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学知识解决实际问题的能力，属★★★★★级题目.

知识依托：主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识.

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错解分析：证明S(λ)在区间［,］上的单调性容易出错，其次不易把应用问题转化

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为函数的最值问题来解决.

技巧与方法：本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函数的最值问题来解决.

解：设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx2=4840,设纸张面积为S cm2,则S=(x+16)(λx+10)=

(★★★★★)设m是实数，记M={m|m>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+λx2+(16λ+10)x+160,将x=

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代入上式得：S=5000+44 (8 +

5

),当8=

5

,

4840555

即λ=(<1)时S取得最小值.此时高：x==88 cm,宽：λx=×88=55 cm.

888

2323

如果λ∈［,］可设≤λ1<λ2≤,则由S的表达式得：

3434S( 1) S( 2) 44(81 44(1 2)(8

5

5

1

)

8 2

5

2

)

1 2

又 1 2≥

525

>0, ,故8－

38 1 2