解圆锥曲线问题常用方法(一)

解圆锥曲线问题常用方法(一)

解圆锥曲线问题常用方法（一）

【学习要点】

解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法

（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1 r2=ed2。

（2）双曲线有两种定义。第一定义中，r1 r2 2a，当r1>r2时，注意r2的最小值为c-a：第二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法

因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：

xy0x2y2

（1）2 2 1(a b 0)与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有0 k 0。

aba2b2xy0x2y2

（2）2 2 1(a 0,b 0)与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有0 k 0 22

abab

（3）y2=2px（p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p. 【典型例题】

例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P (2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点为 。

分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则PH PF，因而易发现，当A、P、时，距离和最小。

（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R解：（1）（2，2）

连PF，当A、P、FAP PH AP PF最小，此时AF的方程为y 代入y2=4x得P(2,22)，（注：另一交点为(

1

, 2)，它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去） 2