分组问题

分组问题

１. 分组问题

分组问题是排列组合中的一个难点，主要有以下三种情况.

１.1 非平均分组问题

在非平均分组问题中，不管是给出组名或不给出组名，其分组的方法相同.

【例１】 把１２个人分成如下三组，分别求出以下各种分组的方法数.

（１）分成甲、乙、丙三组，其中甲组７人、乙组３个、丙组２人.

（２）分成三组，其中一组７人、一组３人、一组２人.

解：

（１）先从１２人中任选７人为甲组，余下５人中任选３人为乙组，剩下２人为丙组，则共有

种不同的分组方法.

（2

）先从１２人中任选７人为一组有人为一组，共有种选法，再从余下５人中任选３人有种选法，剩下的２种不同的方法.

【点评】 由于各组人数不同，这个问题属于非平均分组问题，尽管第（1）个问题中给出了甲、乙、丙三个组，而第（２）个问题只是给出了各组人数而没有具体指定组名，但分组的方法数都是一样的. 易错点：误把（１）的结果表示为

１.2 平均分组问题

上面的非平均分组问题中，是否给出组名对结果没有影响，但在平均分组问题中一定要注意问题是否给出了具体的组名，它们的结果是不同的.

【例２】 有６本不同的书，按下列要求分配，各有多少种不同的分法？

（１）分给甲、乙、丙三人，每人两本.

（２）平均分成三份.

解： （１）从６本书中任取２本给一个人，再从剩下的４本中取２本给另一个人，剩下的２本给最后一人，共有＝９０种分法.

（２）设平均分成三堆有x种方法，再分给甲、乙、丙三人每人得２本，则应有 ∴

＝１５种不同的分法.

【点评】 上面例子可以看出：两个问题都是分成３堆，每堆２本，属于平均分组问题，而（１）分到甲、乙、丙三人，属于到位问题，相当于给出了甲、乙、丙三个指定的组，但（２）没有给出组名，因而结果是不同的.

一般地，把n、m个不同元素平均分到m个不同的位置，有种方法，把n、m个不同元素平均分成m

组有种分法. 易错点：错把（１）的结论写为错把（２）的结论写为