一题多解与一题多变

方法二∶

设直线AB的方程为x=my+b，（注意这样设直线方程有两大优点：①不必考虑斜率不存在，②代入消x简便），代入抛物线的方程消x得：又设A x1,y1 、B x2,y2 ，则y1y2又y1

2

y2 2mpy 2pb 0

2pb，

2

2px2, 2px1,y2

22

y1y2 2pb

∴x1x2∴b

2

4p

2

4p

2

b2，由OA⊥OB得x1x2 y1y2 0，

2pb 0，∵b≠0，∴b=2p，即AB的方程为x=my+2p，

显然AB过定点（2p，0）。

方法三：

设直线AB的方程为ax+by=1，代入抛物线方程得：y2=2px（ax+by），即：

y y 22

y 2pbxy 2pax 0，∴ 2pb 2pa 0，

x x

2

y1

由于

x1

∴

、

y2x2

是此方程的两根，

y1x1

y2·x2

y1

=－2pa，又由OA⊥OB得：

x1

·

y2x2

=－1，

11

x by 1，显然AB过定点（2p，0） ∴a ，即AB的方程为2p2p

方法四：

设OA的斜率为k，则OB的斜率为

1

，OA的方程为y kx，代入抛物线的方程得k

1k 2p2p

A 2,，AB方程为： ，以 换k得B2pk2, 2pk。从而得出AB的斜率为2kk k 1 k

y 2pk

k1 k

2

x 2pk ，令y 0得x 2p，即过定点 2p,0 。

2

说明：①开始考虑到定点位置有很大作用，不少学生就是利用方法一、方法二得出了AB方程，但还不会找出定点，当知道了定点在x轴上就好找了。

②对于解决解析几何问题就是要学会从多方面思考，从中找到最佳方法，同时在解决解析几何问题时还要注意几何图形性质、曲线的定义的作用，曲线方程的设法技巧等。 ③对于方法三是给学生一个开拓眼界的作用，同时也是齐次方程特点的一个应用。以增加学生的知识面，有心的学生可想想其中的道理。