同济大学概率论试卷真题

备用数据：t 2.3534, 26.815, 2

0.95(3)0.95(3) 0.05(3) 0.352

(1) 0.8413 ， (3.2) 0.9993, (0.8) 0.7881.

一、填空题(18分)

1、(4分)已知P(A) 0.5,P(B) 0.4,P(A|) 0.6，则P(AB)= ，

P(AA )= .

2、(4分)设随机变量 服从二项分布B(4,p)，0 p 1，已知P( 1) P( 3)，则

p ，P( 2)3、(6分)设随机变量X服从参数为1的指数分布，随机变量Y服从二项分布B(2,0.5)，且

cov(X,Y) 0.5，则E(X 3Y) ，D(X 3Y) ，利用切比雪夫不等

式可得PX 3Y 2 2

. 4、(4分)设X1,X2

,X6相互独立且服从相同的分布，且X1服从正态分布N(0,9)，记

T a X2

b X2

cX

2

1 X2 3 X4 X5 6

，其中a,b,c为常数，且abc 0，当

a ,b ,c 时，T服从自由度为 的 2分布.

二、(12分)甲、乙两人各自独立作同种试验，已知甲、乙两人试验成功的概率分别为0.6，0.8. (1) 求两人中只有一人试验成功的概率；

(2) 在已知甲乙两人中至少有一人试验成功的情况下，求甲成功但乙未成功的概率。

三、(12分)设随机变量 ~N(1,4), ~N(0,9),且 与 的相关系数 12

. 记Z

2

3

.求(1)E(Z)，D(Z)；(2)Cov( ,Z).

四、(12分)假设二维随机变量(X,Y)服从矩形 G {(x,y)|0 x 2,0 y 1}上的均匀

分布. 记U

0若X YX Y, 0若X 1若V 2Y

,

1若X 2Y

(1)求(U,V)的联合概率函数； (2)求概率P(U2 V2 1).

五、(12分)设随机变量 1与 2相互独立, 它们均服从标准正态分布.记

1 1 2, 2 1 2.可以证明：( 1， 2)服从二维正态分布.

(1) 分别求 1和 2的密度函数； (2) 求( 1, 2)的联合密度函数； (3) 求概率P 2 1 2, 2 2 2

.

六、(10分)某生产线上组装一件产品的所需时间X服从指数分布，E(X) 10(单位：分钟)，假设组装各件产品所需时间相互独立.用中心极限定理求组装100件产品所需时间在18小时至22小时之间的概率的近似值

七、(10分)设某种新型塑料的抗压力X服从正态分布N( , 2

)，现对4个试验件做压力试

4

4

验，得到试验数据(单位：10MPa)，并由此算出

x

i

32, 268，分别求 和 的置

i 1

x2ii 1

信水平0.90的双侧置信区间.

八、(14分)设X1,X2, ,Xn是取自总体X的简单随机样本，X服从区间[8,8 ]上的均匀分布，其中 0. 未知.

(1)求 的极大似然估计 ；(2)求 的极大似然估计 的密度函数；

(3)问： 的极大似然估计 是否为 的无偏估计？如果是的话，给出证明；如果不是的话，将其修正为 的一个无偏估计.