初中数学思想方法之函数与方程思想

初中数学思想方法之函数与方程思想

中考数学专项讲解 函数与方程思想

知识梳理

方程是研究数量关系的重要工具，在处理生活中实际问题时，根据已知与未知量之间的联系及相等关系建立方程或方程组，从而使问题获得解决的思想方法称为方程思想．而函数的思想是用运动、变化的观点，研究具体问题中的数量关系，再用函数的形式把变量之间的关系表示出来．函数与方程思想在中学数学中有着广泛的应用，也是中考必考的内容． 典型例题

【例1】 如图：在△ABC中，BA=BC=20 cm，AC=30 cm，点P从点A出发，沿AB以每秒4 cm的速度向点B运动；同时Q点从C点出发，沿CA以每秒3 cm的速度向点A运动．设运动的时间为x秒． (1)当x为何值时，PQ∥BC? (2)△APQ能否与△CQB相似?

(3)若能．求出AP的长；若不能．请说明理由． 【解】(1)根据题意AP=4xcm，AQ=AC－QC=(30－30x)cm，若PQ∥BC，则

APAB

AQAC

①当

APCQAPCB

AQCBAQCQ

时，

4x3x

30 3x2030 3x3x

，解得x

109

．

②当 4x20

，解得x1=5，x2=－10(舍去)．所

以AP=4x=20． 所以当AP

409

cm或20 cm时，△APQ与△CQB相似．

．

30 3x30

【解题反思】 由相似三角形的对应边成比例，可列出分式方程，从

而求解；在已知一个角对应相等的前提下考虑两个三角形相似时，有两种情况，不可遗漏．

【例2】(2011郑州二模)某工厂用如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的A种和B种两种长方体形状的无盖纸盒．现有正方形和长方形纸板共502张，其中正方形纸板比长方形纸板少138张． （1） 求长方形纸板和正方形纸板的张数；

（2） 若要生产两种纸盒共100个，按两种纸盒的生产个数来分，有

哪几种生产方案？

则

4x20

，解得x

103

．所以当x AQCB

103

s时，PQ∥BC． 时，△APQ能

(2)因为∠A=∠C，所以当与△CQB相似．

APCQ

或

APCB

AQCQ

图

1

5

图2