05第五讲 定积分与微积分基本定理(答案)

第五讲 定积分与微积分基本定理(答案) 题型一 利用微积分基本定量求定积分 1.当n无限趋近于+∞时，答案 10sin xdx 2.计算下列定积分

2 x（1） 0x(x+1)dx；（2） 1（3） 0（4） 3 (cosx+e)dx；01dx；0

(n 1) 2 1

(sin+sin+ +sin)写成定积分的形式，可记为nnnn

cosxdx；

113

x)′=x2,(x2)′=x, 32

114121221222222

∴ 0x(x+1)dx= 0(x+x)dx= 0xdx+ 0xdx=x3|0+x|0=(×23-0)+(×22-0)=.

33223

1000xxx0

（2）1（3）解 0(cosx+e)dx=cosxdx+edx=sinx|+e|=1-.（4）62

e

解：（1）∵x（x+1）=x2+x且(

2.计算下列定积分（被积函数为复合函数）

22x（1） 1(e+

x11122x

)dx；（2） sinxdx；（3）(3+3)dx；（4）dx； x 0002x1 x

112x

,(e)′=e2x·(2x)′=2e2x,得e2x=(e2x)′ x2

111111222x2122

所以 1（e2x+)dx= 1edx+ 1dx=e2x|1+lnx|1=e4-e2+ln2-ln1=e4-e2+ln2.

xx22222

1

（2）由(sin2x)′=cos2x·(2x)′=2cos2x,得cos2x=（sin2x）′,

2

111 12

所以 sinxdx=（-cos2x）dx=dx- cos2xdx 000

22220

41111111

2=x| -（sin2x）|=（-0）-（sin2 -sin0）=.（3）（4） ln2 0

2022222222ln3

解：（1）∵(lnx)′=3. 计算下列定积分

2 224（1） 0|sinx|dx；(2) 0|x-1|dx；（3） 0（|x-1|+|x-3|）dx；

2 2 解 （1）∵（-cosx）′=sinx，∴ 0|sinx|dx= 0|sinx|dx+ |sinx|dx

2 2 = sinxdx-sinxdx=-cosx|+cosx| 0 0 =-（cos -cos0）+（cos2 -cos ）=4. 2

x 1(1 x 2)

（2）∵0≤x≤2，于是|x-1|= 2

1 x(0 x 1)

2

2222

∴ 0|x-1|dx= 10(1-x)dx+ 1(x-1)dx= x

2

111113 12

=（1-）+（×23-2）-（-1）=2. x |0+（x3-x）|1

33333