初二下册因式分解

因式分解的方法

因式分解的复习

教材解读 精华要义

数学与生活

630能被哪些数整除？说说你是怎么想的.

2

思考讨论 在小学我们知道，要想解决这个问题，需要把630分解成质数的乘积的形式，即630=2×3×5×7. 类似地，在整式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，这种变形就是因式分解.那么如何进行因式分解呢？

知识详解

知识点1 因式分解的定义

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【说明】 (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆的运算.

例如：

(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.

知识点2 提公因式法

多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.

22

例如：x-x=x(x-1)，8ab-4ab+2a=2a(4ab-2b+1). 探究交流

下列变形是否是因式分解？为什么，

(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)；(2)x2-2x+3=(x-1)2+2；(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)； (4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn. 点拨 (1)不是因式分解，提公因式错误，可以用整式乘法检验其真伪. (2)不是因式分解，不满足因式分解的含义

(3)不是因式分解，因为因式分解是恒等变形而本题不恒等. (4)不是因式分解，是整式乘法.

知识点3 公式法

(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积.

222

例如：4x-9=(2x)-3=(2x+3)(2x-3). (2)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2.其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.

22222

例如：4x-12xy+9y=(2x)-2·2x·3y+(3y)=(2x-3y). 探究交流

下列变形是否正确？为什么？

2222222

(1)x-3y=(x+3y)(x-3y)；(2)4x-6xy+9y=(2x-3y)；(3)x-2x-1=(x-1). 点拨 (1)不正确，目前在有理数范围内不能再分解.

22

(2)不正确，4x-6xy+9y不是完全平方式，不能进行分解.

2

(3)不正确，x-2x-1不是完全平方式，不能用完全平方公式进行分解，而且在有理数范围内也不能分解.

知识点4 分组分解法

(1)形如：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b) (2)形如：x2-y2+2x+1=(x2+2x+1)-y2 =(x+1)2-y2 =(x+y+1)(x-y+1).