专题一 数列通项公式的求法含答案

专题一 数列通项公式的求法

各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本节总结几种求解数列通项公式的方法。 一、用观察法求数列的通项：

例1：根据数列的前几项，写出它的一个通项公式；

变式训练：已知数列 an 的前n项和为

Sn

3

求数列的通项公式。（名师一号P70） an 3，14916

2（1,,, （2）1 ,0,1,0

251017（3）34,78,153116,32

二、定义法：

直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．

例2．等差数列 an 是递增数列，前n项和为Sn，

且aa2

1,a3,9成等比数列，S5 a5．求数列 an 的

通项公式.

解：设数列 an 公差为d(d 0) ∵a21,a3,a9成等比数列，∴a3

a1a9，

即(a21 2d)2 a1(a1 8d) d a1d

∵d 0， ∴a1 d………………………………① ∵

S5 a2

5

∴

5a2

1

5 42

d (a1 4d)…………②

由①②得：a31

5

，d

3

5

∴a 333

n5 (n 1) 5 5

n

点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错

定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。 三、公式法

若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列

an

的通项

an

可用公式

a S1 n 1n S求解。

n Sn 1 n 2

例3：已知数列 a的前n项和为S2

n n 2n n 3，

求数列的通项公式。（名49例2）

点评：利用公式a Sn n 1

n S S求解

nn 1 n 2

时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．

四、累加法

形如an an 1 f(n) (n=2、3、4…...) 且

f(1) f(2) ... f(n 1)可求，则用累加法

求an。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。

例4：在数列{an}中，a1=1，

an an 1 n 1 (n=2、3、4……) ，求{an}的通项公式。 解：∵n 1时，a1 1

n 2时,a2 a1 1

a a

32 2

a 3

4 a3 这n-1个等式累加得：

.......

an an 1 n 1

a 1)n a1 1 2 ... （n-1）=

n(n2