当前位置： 文档下载 > 所有分类 > 自然科学 > 数学 > 微分中值定理的证明题[1](1)微分中值定理的证明题
1. 若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，f(a) f(b) 0，证明： R，
(a,b)使得：f ( ) f( ) 0。
证：构造函数F(x) f(x)e x，则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，
（a,b)，使F ( ) 0 且F(a) F(b) 0，由罗尔中值定理知：
即：[f ( ) f( )]e 0，而e 0，故f ( ) f( ) 0。
2. 设a,b 0，证明： (a,b)，使得aeb bea (1 )e (a b)。
1111
证：将上等式变形得：e e (1 )e ( )
baba
1
x
1b1a
11111
作辅助函数f(x) xe，则f(x)在[,]上连续，在(,)内可导，
baba
由拉格朗日定理得：
11f() f() f (1) 1 (1,1) ，
ba ba
11b1a
e e
1 (1 )e 1 (1,1) ， 即 ba ba 即： aeb bea (1 )e (a b) (a,b)。
3. 设f(x)在(0,1)内有二阶导数，且f(1) 0，有F(x) x2f(x)证明：在(0,1)
内至少存在一点 ，使得：F ( ) 0。
证：显然F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，又F(0) F(1) 0，故由罗尔定理知： x0 (0,1)，使得F (x0) 0
又F (x) 2xf(x) x2f (x)，故F (0) 0， 于是F (x)在[0，x0]上满足罗尔定理条件，故存在 (0,x0)， 使得：F ( ) 0，而 (0,x0) (0,1)，即证
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