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微分
燕美辰
摘 要:对微分中值定理的概念和一些相关基础知识进行了归纳, 以及一些相关定理的证明,同时介绍了它们在数学领域的应用,并给出了一些典型例题．
关键词:罗尔中值定理;拉格朗日中值定理;柯西中值定理;泰勒公式
微分中值定理是微分学理论的重要组成部分,不仅在理论上有着重要意义,而且在应用中也起着特殊的作用,因此学习研究微分中值定理是非常重要的．
1.罗尔中值定理的证明及其应用
1.1罗尔中值定理的证明
定理1.1.1 （罗尔中值定理） 若函数f满足如下条件：
i f在闭区间 a,b 上连续； ii f在开区间 a,b 内可导； iii f a f b ,
则在 a,b 内至少存在一点 ,使得f 0.
几何意义：
1 在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端点高度相等则至少存在一条
水平切线.
2 若f a f b 0，可导的函数f的任意两根之间必定会有其导函数的根.
下面我们来介绍罗尔定理的证明.
定理1.1.2 （费马定理）设函数f在点x0点某邻域内有定义,且在点x0可导，若点
x0为f的极值点,则必有f x0 0.
证 因为f在 a,b 上连续,所以有最大值和最小值,分别用M与m表示,现分两种情况来讨论：
1 若m M,则f在 a,b 上必为常数,从而结果显然成立.
2 若m M,则因f a f b ,使得最大值M与最小值m至少有一个在 a,b 内某点 处取得,从而 是f的极值点.由条件 ii ,f在点 处可导，故由费马定理推知
f 0.
1.2罗尔中值定理的应用
微分中值定理是数学分析中最为重要的内容之一，其中罗尔定理是基础中的基础.由于罗尔定理应用比较广泛,所以它在解题中也常用到.
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