微积分定理公式

大学微积分定理公式

第一讲 第一章 函数、极限连续（予备知识）

重点：函数性质与函数的图形

函数是微积分的研究对象,因此在课程的开始,要先对函数部分加以复习,要求对函数的概念、表示方法、性质及基本初等函数的图形有较好的理解与掌握.极限是微积分的基础,故需要介绍一下,因为不考试,故不作复习重点,不作任何要求,也不做练习题.

一、函数

（一）函数的概念 1．函数的定义

【定义1.1】 设在某一变化过程中有两个变量x和y,若对非空集合D中的每一点x,都按照某一对应规则f,有惟一确定的实数y与之相对应,则称y是x的函数,记作

y f(x),x D.

x称为自变量,y称为因变量,D称为函数的定义域,y的取值范围即集合 y|y f(x),x D 称为函数的值域.

xoy平面上点的集合 (x,y)|y f(x),x D 称为函数y f(x)的图形.

定义域D(或记Df)与对应法则f是确定函数的两个要素.因此称两个函数相同是指它

们的定义域与对应法则都相同.

2．函数的表示方法

函数的表示方法一般有三种：解析法、表格法、图示法.这三种表示方法各有其特点,表格法和图示法直观,解析法便于运算,在实际中经常结合使用.

3．函数定义域的求法

由解析式表示的函数,其定义域是指使该函数表达式有意义的自变量取值的全体,这种定义域称为自然定义域,自然定义域通常不写出,需要我们去求出,因此必须掌握一些常用函数表达式有意义的条件.

（二）函数的几何特性 1．单调性

（1）【定义1.2】 设函数f(x)在实数集D上有定义,对于D内任意两点x1,x2,当 x1＜x2时,若总有f(x1)≤f(x2)成立,则称f(x)在D内单调递增（或单增）；若总有 f(x1)＜

f(x2)成立,则称f(x)在D内严格单增,严格单增也是单增.当f(x)在D内单调递增时,又称f(x)是D内的单调递增函数.

类似可以定义单调递减或严格单减. 单调递增或单调递减函数统称为单调函数.

（2）可以用定义证明函数的单调性,对几个常用的基本初等函数,可以根据熟悉的几何图形,找出其单调区间.对一般的初等函数,我们将利用导数来求其单调区间.

2．有界性

【定义1.3】 设函数f(x)在集合D内有定义,若存在实数M＞0,使得对任意x D,