高三一轮复习丛书19向量数量积 平面向量的坐标

【知识要点】

1. 向量的数量积

(1)两个非零向量的夹角:作＝，＝，则∠AＯB＝θ（０≤θ≤π）叫与的

(2)数量积:已知两个非零向量a与b，它们的夹角为 ，则a·︱b︱cos 叫b=︱a︱·

做a与b的数量积.

a b(3)向量的投影：︱b︱cos =∈R，称为向量b在a方向上的投影。 |a|

2 2 2 2 2 2

(4)向量数量积的性质:①a a a |a|。 ②a b a b a b a b；

2 2 2 2 2a b a 2a b b a 2a b b；

③a b b a； a b a b a R ；

aa b c a c b c c a b。④向量的夹角：cos =cos a,b b 夹角；两向量必须是同起点的，范围0 ≤ ≤180 。

a b

2. 平面向量的坐标表示

（1）在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底。

j a xi y，记作a=(x,y)，

规定：①相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；②向量的坐标与表 示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系。 （2）平面向量的坐标运算：

xya b 1x x,1y y ①若a x1,y1 ,b2, 2，则22；

x,yy ②若A x1,y1 ,B x2,y2 ，则AB x； 2 12 1

③若a=(x,y)，则 a=( x, y)；

b xyxyxy 0 ④若a x。 1,y1 ,2, 2，则a/ /b 12 21

b=x1x2 y1y2。 ⑤若a (x1,y1),b (x2,y2)，则a· x1x2 y1y2 a b

(3)向量的夹角：cos =cos a,b =。

2222

a bx1 y1 x2 y2

两个非零向量垂直的充要条件：a⊥b a·b＝O x1x2 y1y 0，

22222

(4)平面内两点间的距离公式:设 (x,y)，则|| x y或|| x y。

22

的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，则|a| x1 x2) (y1 y2)。

【典例解析】

例1.| |=1，| |=2，= + ，且⊥，则向量与的夹角角度为______