高中数学思想专题讲座--特殊与一般的思想方法

高中数学思想专题讲座

----特殊与一般的思想方法

特殊与一般的思想是中学数学的重要思想之一，有些特殊问题的解决，需要我们通过一般性规律的研究来处理；而对于具有一般性的问题，我们也常通过考察其特殊情况（如特殊图形、特殊位置、特殊取值等）揭示其一般规律.这种特殊与一般的辩证思想往往贯穿于整个解题过程之中.通过特殊化能使我们认识问题更加全面，而将问题一般化能使我们认识问

题更加深刻.“从特殊到一般，再由一般到特殊”正是这一数学思想的具体体现。

特殊与一般的思想方法主要表现在如下几方面:

1、 特殊问题一般化

在解决数学问题的过程中，我们思考一个问题，有时可以跳出它的范围去思考比它更一般的问题，有时一般的问题比特殊的问题更易于解决或解决了一般的问题就得到了许多类似问题的结果.因此只要解决了一般性的问题，特殊性的问题也就迎刃而解了.

【例1】解方程组

9a－3b＋c＝－27

4a－2b＋c＝－8

a － b＋c＝－1

27＋9a－3b＋c＝0 －－－－（1） 8＋4a－2b＋c＝0 －－－－（2）

1＋ a－ b＋c＝0 －－－－（3） f（x）＝x3＋ax2－bx＋c

由（1）、（2）、（3） 分别得：f（3）＝0、f（2）＝0、f（1）＝0。 即〝1，2，3〞为方程式x3＋ax2－bx＋c＝0之三个根 由根与系数关系得到

a＝－（1＋2＋3）＝－6

b＝（1³2）＋（2³3）＋（3³1）＝11 c＝－（1³2³3）＝－6

【例2】 求证：sin70°+sin10°>sin100°>sin70°-sin10°.

【分析】 此题按照一般解法去做，要分别证明两个不等式.经观察发现，此题中涉及的三个角之和恰为１８０°，这提醒我们将问题放到三角形中研究，所证问题转化为：sinA+sinB>sinC>sinA-sinB.而三角形中最常用的不等关系就是“三角形两边之和大于第三边”和“三角形两边之差小于第三边”，实现边角关系相互转化的常用工具是“正弦定理”和“余弦定理”.

解： 在△ＡＢＣ中，设∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的对边分别是a、b、c，则得a+b>c>a-b. 由正弦定理得

=k，故ksinＡ＋ksinB>ksinC>ksinA-ksinB，

所以sinA+sinB>sinC>sinA-sinB.

特殊地：将Ａ＝７０°、Ｂ＝１０°、Ｃ＝１００°代入上面的不等式即得所求证的结论.