重庆市育才中学高2014级一轮复习学案(理科数学) 30平面向量的数量积(教师用)

①通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 ③掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算。 ④能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

30平面向量的数量积 姓名一、学习内容：必修第二册P102～110 二、课标要求：

①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。

③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。

④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

三、基础知识

1.有关概念

（1）向量的夹角：两个非零向量a,b，过点O作OA a，OB b，则 叫做向量a与b的

夹角，范围是 .

aba（2）向量垂直：与的夹角为 度时，叫做 b.

（3）投影：a在b方向上的投影为 ，b在a方向上的投影为 .

2.向量的数量积

（1）数量积的定义：a与b的夹角为 ，a b.

（2）数量积a b的几何意义：数量积a b等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcos 的乘积

或（等于b的长度b与a在b的方向上的投影acos 的乘积）.

3.数量积的应用

（1）长度公式：设a x,y ，则a

（2）夹角余弦公式：设a x1,y1 ，b x2,y2 ，则cosa,b

（3）垂直条件：设a x1,y1 ，b x2,y2 ，则a b

（4）平行条件：设a x1,y1 0，b x2,y2 ，则a//b

b ab （5）不等式：设a x1,y1 0，b x2,y2 ，则a

4.数量积满足的运算律

（1）交换律：a b.（2）与数乘的结合律：( a) c b .（3）分配律：(a b) 5.注意

（1）两个向量的数量积是一个实数. 0 a 0，0 a 0；（2）a b中的“ ”不能省略；（3）数

量积不满足结合律：(a b) c a (b c).