圆锥曲线切线性质在高考试题中应用

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解题研究

圆锥曲线切线性质在高考试题中应用

(重庆外国语学校 400039) 梁 平

文[1]证明:对于圆锥曲线C,过点P(x0,y0),任作直线l交圆锥曲线C于M,N两点,若圆锥曲线C在点M、N处切线的交点为Q,则点Q在一定直线上.

(1)若圆锥曲线C:y2=2px,则点Q在一定直线y0y=p(x+x0)上.

(2)若圆锥曲线C:+=1,则点Q在一

ab定直线

00+=1上.ab

=1,则点Q在一2-ab2

2

2

2

2

(2)如图1,因为xn

n2n

=2,yn==,

44

n

2n

所以An(2,),4

n

过An的斜率k=y!|

x=2n

=

图1

x|x=2n=2n-1.2

直线AnCn方程为:y-=2n-1(x-2n).

4

2n

(3)若圆锥曲线C:

00定直线-=1上.

ab

特别地:当点P坐标取圆锥曲线的焦点坐标时,易知有如下结论:

过圆锥曲线焦点F的直线l交圆锥曲线C于M、N两点,曲线C在点M、N处的切线的交点Q在圆锥曲线相应的准线上.

或将此结论简叙为:

过圆锥曲线焦点弦的两个端点分别作切线,其交点一定在相应准线上.

我们利用上述结论来解2006年重庆高考试题文科22题第(2)问.

题目:如图1,对每一个正整数n,An(xn,yn)是抛物线x2=4y上的点,过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点Bn(sn,tn).

(1)试证:xnsn=-4(n 1);

(2)取xn=2n,并记Cn为抛物线上分别以An

与Bn为切点的两切线的交点.

试证:|FC1|+|FC2|+ +|FCn|=2-2-n+1+1.

解1:详见2006年全国统一考试(重庆卷)数学试题卷(文科类)答案

解2:(1)略

.n

由圆锥曲线切线性质知,AnCn与BnCn的交点Cn在准线y=-1上.

故有Cn(2

n-1

-

2-1),又F(0,1).

所以|FCn|=2n-1+

2n-1-

2

)2+22=

)2=2n-1+.

2n-12n-1

2

n-1

从而|FC1|+|FC2|+ +|FCn|=(1+2+2+ +2+ +)=

22

n-n+1

+=2-2+1.1-21-2

n

)+(1+

+2

1-

此解法优点在于,利用圆锥曲线切线性质求出两切线交点坐标,可大大减少运算量.

参考文献

1 杨宣文,杨国平.圆锥曲线切线的又一性质.数学教学通讯,2006(7)

2 2006年全国统一考试(重庆卷).数学试题卷(文科类)答案