n阶行列式的定义

n阶行列式的定义

第二节 n阶行列式的定义

介绍线性代数的思想方法及其要点，关于行列式定义的说明以及学习中要特别注意之处

内容要点：

从三阶行列式讲起，应如何定义行列式，对于更高阶行列式定义的启发于思考。

一、排列与逆序

定义1 由自然数1,2,…,n 组成的不重复的每一种有确定次序的排列，称为一个n级排列(简称为排列)。

例如，1234和4312都是4级排列，而24315是一个5级排列. 规定自然数的排列由小到大的次序为标准次序。

若数it is, 则称数it与is构成一个逆序. 定义2 在一个n级排列(i1i2 it is in)中，

一个n级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数, 记为N(i1i2 in).

根据上述定义,可按如下方法计算排列的逆序数:

设在一个n级排列i1i2 in中,比ik(k 1,2, ,n)大的且排在ik前面的数由共有tk个, 则

N(i1i2 in) t1 t2 tn

ik的逆序的个数为tk, 而该排列中所有自然数的逆序的个数之和就是这个排列的逆序数. 即

t.

kk 1

n

定义3 逆序数为奇数的排列称为奇排列, 逆序数为偶数的排列称为偶排列.

二、n阶行列式的定义

定义4 由n2个元素aij(i,j 1,2, ,n)组成的记号 a11a21

an1

a12a22 an2

a1n a2n ann

称为n阶行列式, 其中横排称为行, 竖排称为列, 它表示所有取自不同行、不同列的n个元素乘积a1j1a2j2 anjn的代数和, 各项的符号是: 当该项各元素的行标按自然顺序排列后, 若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号; 是奇排列则取负号. 即

a11a12 a1na21a22 a2n

( 1)N(j1j2 jn)a1j1a2j2 anjn

jj j

12n

an1an2 ann

其中数aij

j1j2 jn

表示对所有n级排列j1j2 jn求和. 行列式有时也简记为det(aij)或|aij|，这里

元素，称 ( 1)

N(j1j2 jn)

称为

a1j1a2j2 anjn 为行列式的一般项.

注: (1) n阶行列式是n!项的代数和, 且冠以正号的项和冠以负号的项(不算元素本身所带的符号)各占一半;

(2) a1j1a2j2 anjn的符号为( 1)

N(j1j2 jn)

(不算元素本身所带的符号);

(3) 一阶行列式 |a| a,不要与绝对值记号相混淆.