110[1].例谈利用方程思想解三角函数题(袁拥军)

(##$年第$期

中学数学教学

(6

例谈利用方程思想解三角函数题

湖南省浏阳市第一中学

方程思想是一种重要的数学思想，方程与三角函数紧密联系，利用方程思想去解三角函数题，有利于解题思路的寻求与优化，有利于沟通知识的纵横联系，有袁拥军（邮编：）!"#$##

(，求证!*%&’#*(%&’!%&’&’#+",##,!。"%"*

(((证明将%&’!*%&’%&’#*(%&’!%&’&’#"*"%

则+",#看成关于%&’!的一元二次方程，利于培养创造性思维，下面略举数例加以说明。

"利用方程思想解三角函数求值题

例"求%&’)*%&’)+$&’)&’)

的值。

解构造三角方程

%&’!*%&’(!,%&’)*%&’)，

显然))

是这个方程的两个特殊解，

上述方程可化为

(%&’(

!*%&’!+"+%&’)+%&’)

,#

，-%&’)，%&’)是方程("(

*"+"+%&’)+&’)

,#的两个相异根，根据韦达定理得方程：%&’)*%&’)

,+(，

%&’+"+%&’+

%&’)&’),(,+!，

-%&’)*%&’)+$&’)&’),+(*"(,+"(

。

例(求./01/01/01/01/01/01

的值。

解

构造三角方程./01!,#

，显然111111

是上述方程的六个特殊根，上述方程可化为./0!!,+./0$!，

即$$

"+2./0(!*./0!!,+"+$./0(!，-./02!+("./0!!*$)./0(!+1,#

，-./0

1，./01，./01，./01，./01，./01是方程"2+(""!*$)"(+

1,#的六个根，-./01/01/01/01/01/01,+1。(利用方程思想解三角函数证明题

例$万方数据

设!、"、#均为锐角，且%&’(!*%&’("*

%&’!,

*,+%&’"%&’#*’30"’

30#,+%&’（"*#）,%&’［!+（"*

#）］4!，"，

#"（#(）-!,!+（"*#），即!*"*

#,!。例!在#$%&中，求证%&’$%&’%%&’&$5

。

证明设!,%&’$%&’%%&’&

，将它看成关于%&’&的方程，

则!,+(%&’(&+%&’（$+%）%&’&］，%&’(&+%&’（$+%）%&’&*(!,#

，-",%&’(（$+%）+5!%#

。-!$(5&’（$+%）$5

，-%&’$%&’%%&’&$5

。

$利用方程思想解三角函数求角题例)已知#、$为锐角，且%&’#*%&’$+%&’（#*$）,(

，求#、$。解法"由%&’#*%&’$+%&’（#*$）,(

，得(%&’(&’((+(%&’(*",(

，-!%&’((+!%&’(&’(*",#

，-（(%&’(((+%&’(）*’30(,#，-’30(,#且(%&’(+%&’(

,#。又4#、$为锐角，

-#,$，%&’#,(

，-#,$,$。

解法(原方程可化为

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