浅谈三角形的四心

浅谈三角形的四心

浅谈三角形的“四心”

所谓三角形的“四心”，是指三角形的四种重要线段相交而成的四类特殊点.它们分别是三角形的内心、外心、垂心与重心.其中，外心与内心在人教社编著的课本中分别作出了叙述和介绍.而垂心与重心两个概念随着九年制义务教育教学要求的降低，将它们删去了.可是垂心、重心与内心、外心一样，在高中后续学习立体几何、解析几何等内容时都是不可缺少的知识点，在高考试卷中也屡屡出现.鉴于此，笔者认为：学有余力的同学在初中最后阶段很有必要补上这一删去的知识内容.应该在初三总复习时，加强自学，搞好初、高中“四心”这一知识内容的衔接.从而为高中进一步学习作好充分准备，打好坚实的基础.为了便于同学们自学，下面将垂心、重心两个知识点作如下简单介绍：

1．垂心

三角形三条边上的高相交于一点，这一点叫做三角形的垂心.通过作图可知锐角三角形的垂心在形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在形外.

例1．如图，在锐角 ABC中，点O为其垂心，AD BC,BE AC,CF AB.

（1）首先利用圆的定义证明：A、F、O、E四点在同一个圆上.然后回答在A、B、C、D、E、F、O七点中，有多少组四点共圆？并要具体地写出这些共圆的四点组.

（2）过顶点A、B、C分别引对边的平行线，它们两两相交于A′、B′C′，求证点O为 A'B'C'的外心.

（3）连结FD、DE、EF，试证明点O为 DEF的内心.

B'

简单的分析与证明：（1）取AO的中点O′，连结FO'、EO',根据定理直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得FO' O'A O'O O'E，可知A、F、O、E四点在以O′为圆心，O'F为半径的圆上.同理可得：F、O、D、B，O、D、C、E，F、B、C、E，F、D、C、A，D、E、

A、B共六组共圆的四点组.

（2）根据平行四边形与平行线的性质，可证得：AD、CF、BE分别为：B'C',A'B',A'C'的垂直平分线.从而可得O为 A'B'C'的外心.

（3）欲证点O为 DEF的内心，只要证AD为 FDE的平分线，如图即要证 1 2，而由（1）四点共圆的结论知 1 3， 2 4，在Rt OFB与Rt OEC中，容易知道

1 2， 3 4，即有：从而可得AD为 FDE的平分线.同理可得：BE、CF分别为 FED、

DFE的平分线.即得点O为 DEF的内心.

注：该题中，点O既是 ABC的垂心，又是 A'B'C'的外心，同时也是 DEF的内心.可谓是“一点三心”.

上述这道题对帮助同学们同时理解垂心、外心、内心的定义及其性质起了很好的作用.希同学们自己给出此题的详细完整的解答，并猜想将锐角三角形改为钝角三角形，仍可证得上题同样的结论吗？