函数对称性的探究

高

考

专 栏

一、曲线关于点或直线的对称 第四版 故能确定x的位置用2－x代，而y不变，故y＝f(x)的图像关于直线x=1对称。

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)+ 33

x2+y2=-3x2-16x-12=-3(x+

1、曲线f (x，y)＝0关于原点对称的曲线方程为f (－x，－y)＝0。

其实y＝f(x+1)可由y＝f (x)的图像2、曲线f (x,y)＝0关于直线x轴向左平移1个单位而得。

的对称轴或方程为f (x，-y)＝0

3、确定点对称与轴对称 3、曲线f 例3：已知函数y＝f(x)，x∈R，且

(x,y)＝0关于对任意x值总有y轴对称的曲f(x)－f(2－x)=0，线方程为则y=f(x)的图象

f(-x,y)＝0

关于______对称。

4、曲线f (x,y)＝0关于直线x＝a分析：已知等式化为y＝f(2－x)，的对称曲线方程为f(2a－x,y)＝0

所以y=f (x) 的图像关于直线x=1对称。

5、曲线f (x,y)＝0关于直线y＝b三、对称条件的挖掘和运用 对称的曲线方程为f(x,2b－y)＝0

对一些对称问题的隐含条件应善于6、曲线f (x,y)＝0关于直线x+y+c挖掘和应用，往往起到简化解题过程之＝0对称的曲线方程为f(-y－c,-x－c)效。

＝0

例4：已知定义在(-2,2)上的偶函数7、曲线f (x,y)＝0关于直线x－f(x)，当x≥0时f(x)是减函数，如果f(1y+c＝0对称的曲线方程为f(y－c,x+c)－a) < f(a)，求a的取值范围。

＝0

分析：f(x)为偶函数，其图像关于y观察其本质，只需对原方程中x，轴对称，而x ≤0时f(x) 为减函数，故y的位置用相应的式子代即可，如关于离对称轴越近函数值越大，反之亦然，故直线x＝a对称，当且仅当2a－x代替x，由f (1－a) < f (a)可得|1－a| > | a |，结合定y不变。

义域-2<1－a<2，-2 < a < 2解得：-1 < a < 二、应用时应确定的几个问题 1/2 。

1、确定自身对称还是他对称 只要明确了点、曲线对称变换的原理例1：f(x)的定义域为R，则y＝及题型特点，熟练掌握基本方法，对高考f(x－1)与y＝f(1－x) 的图像关于中的容易题或中等题就会迎刃而解，较难______对称。

的题也能理清思路，抓住要点。 分析：注意到y＝f(x－1)可由y

＝f(1－x)中用2－x代替x，y 不变得到，所以两曲线关于直线x＝1对称。

2、确定x，y的位置 例2：设函数y＝f (x)的定义域为R，且满足f (1－x)＝f(x+1)，则函数y＝f(x+1)的图像关于___________对

称，函数y＝f(x) 的图像关于__________对称。

分析：对函数y＝f(x+1)而言，y＝f(1－x)为y＝f(x+1)中用-x代x而得，而f(1－x)＝f(x+1)则表明y＝f(x+1)y2与y＝f(1－x)为同一个函数，故y＝例1、 已知

(x+2)2

+

2f(x+1)的图像关于y轴对称。

4

=1,求x+y2的取

对函数y＝f(x)而言，应先把f (1值范围。

－x)＝f (x+1)转化为f(2－x) ＝f(x)，

错解 由已知得 y2=-4x2-16x-12，因此 ∴当x=-8时，x2+y2283有最大值3

即x2+y2的取值范围是(-∞, 283

]。 分析： 没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。事实上，由

2

(x+2)2

+

y4

=1得(x+2)2

=1-

y24

≤1，∴-3

≤x≤-1从而当x=-1时x2+y2有最小值1。x2+y2的取值范围是[1,

28

3

]

忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。

例2、 求函数y=x2 4

x 3x2 x 6

的值域。错解 将原函数变形得：

(y-1)x2+(y-4)x-3(2y+1)=0 ① 当y=1时，①式化为 –3x=9,有解x=3; 当y≠1时，∵①式中x∈R

∴△=(y-1)2+4×3(y-1)(2y+1)≥0 ，故25y2-20y+4≥0, 解这个不等式得y∈R 综上：原函数值域为：y∈R

分析： 没有注意定义域对值域的影响，扩大了y的取值范围。

事实上，原函数要有意义，必须有：x2+x-6≠0即x≠2且x≠-3,在此前提下，原函数可化为： y=

(x 1)(x 3)(x 2)(x 3)=x 1

x 2

得 (y-1)x=2y+1

∴y≠1 且x=

2y 1

y 1

≠-3 解得y≠1且y≠

2

5

∴原函数值域为：y∈(-∞, 2)∪(

255

,1)

∪(1,+∞)。