立体几何的折叠问题

很全面、很详细的解答

第十七讲 平面图形的翻折

【知识精讲】

一、翻折问题的关键有二：

①画好两个图——翻折前的平面图和翻折后的立体图；

②分析好两个关系——翻折前后哪些位置关系和度量关系发生了变化，哪些没有改变,

一般地，在同一半平面内的几何元素之间的关系是不变的，涉及到两面二个半平面内的几何元素之间的关系是要变化的，分别位于两个半平面内但垂直于翻折棱的直线翻折后仍然垂直于翻折棱。二、求从一点出发沿几何体表面到另一点的最短距离问题: 通常把几何体的侧面展开，转化为平面图形中的距离问题。

【例题选讲】例1：（1）如图表示一个正方体表面的一种展开图，

G 图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相D （C 互异面的有_________对.

【分析】平面图形的翻折应注意折前折后各元素相

对位置的变化。画好正方体即可知有三对异面直线。

E

（B）

（2）图示是一个正方体的表面展开图，A、B、C均为棱的中点，D是顶点则在正方体中，异面直线AB、CD所成角的余弦值为_________

解：把展开图复原为正方体后如图，

则∠HFG为AB和CD所成的角，F为正方体一的中点。

A

D

∴COS∠HFG=

5

例2：如图，直角梯形ABCD中，AB//CD，∠ADC=90，

AB=AD=a,CD=3a,将△ABD沿BD折起，使之与平面BCD成60的二

’

面角，点A到了A’的位置，求A与C间的距离。

解：在梯形ABCD的底CD上取点E使DE=a.AE与BD交于F，则ABED是正方形，由AE⊥BD得A’F⊥BD，EF⊥BD，故∠A’FE为

二面角的平面角为60，故△A’EF是等边三角形，

A’F=EF=A’E=

2

a,在△A’ED中，A’D=AD=a,再由余弦定理2

112

a,2

得cos∠A’DE=3/4,所以

A'C2 A'D2 CD2 2A'D CDcos A'DE A'C

22a2