高等数学典型例题

高等数学典型例题

重积分(三重积分典型例题) 第九章 重积分(三重积分典型例题) 例8 计算

其中 ∫∫∫( x + z)dv, 由 z =

x2 + y 2 与

例9 计算

∫∫∫e dv, : x z

2

+ y2 + z2 ≤ 1.

例10 证明

z = 1 x2 y2 所围成的. 所围成的. 面为对称， 解 Q 关于 yoz 面为对称，f ( x , y , z ) = x 为 x 的 奇函数， 奇函数， 有 ∫∫∫ xdv = 0.

解 Q 被积函数仅为 z 的函数，截面 D( z ) 为圆域 的函数，

∫0 [∫0 ( ∫0 v u

x

v

u

f ( t )dt )du]dv =

1 x ( x t ) 2 f ( t )dt . 2 ∫0 v

x 2 + y 2 ≤ 1 z 2,故采用"先二后一" 法. 故采用"先二后一" z ∫∫∫ e dv = 2∫∫∫ e dv z 上 1 0

证 思路：从改变积分次序入手. 思路：从改变积分次序入手.

Q ∫ du∫ f ( t )dt = ∫ dt ∫ f ( t )du = ∫ (v t ) f ( t )dt , t 0 0 0 0 z

v

v

∴ ∫∫∫ ( x + z )dv = ∫∫∫ zdv

利用球面坐标

= 2 ∫ [ ∫∫ dxdy ]e dz D( z )

∴ ∫ [ ∫ ( ∫ f ( t )dt )du]dv = ∫ dv ∫ ( v t ) f ( t )dt 0 0 0 x

x

v

u

x

v

0

0

2π 1 π = ∫ dθ∫ 4 d ∫ r cos r 2 sin dr = . 0 0 0 8

π

= 2∫ π(1 z )e dz = 2π. π 0 2 z

1

= ∫0 dt ∫t ( v t ) f ( t )dv =

x

1 x ( x t )2 f ( t )dt . 2 ∫0

第十章 曲线积分与曲面积分 2 2 4 例 1 计算 I = ∫ ( x + 2 xy )dx + ( x + y )dy , L

例 2 计算

其中 L 为由点O (0,0)到点 A(1,1) 的曲线 y = sin 解 由 I = ∫ ( x 2 + 2 xy )dx + ( x 2 + y 4 )dy 知 P 2 = ( x + 2 xy) = 2 x y y Q 2 = ( x + y4 ) = 2 x x x P Q , 即 = y x 1 1

π x. 2

I = ∫ ( e x sin y my )dx + ( e x cos y m ) dy , L

I =∫

L+ O A

∫ =∫ OA

AMOA

∫

OA

y M

其中 L 为由点(a , 0) 到点 ( 0,0) 的上半圆周

x 2 + y 2 = ax , y ≥ 0 . 解 Q P x = ( e sin y my ) = e x cos y m y y

Q P ∫AMOA = ∫∫ ( x y )dxdy D = m ∫∫ dxdy = m πa 2 , 8 D

y 1 A

o

A(a ,0 )

x

o

1

x

Q x = (e cos y m ) = e x cos y x x P Q 如下图) (如下图) 即 ≠ y x

∫

OA

= ∫ 0 dx + (e x m ) 0 = 0, 0 AMOA

a

∴ I=∫

∫

OA

=

m m 2 π a 0 = πa 2 . 8 8

故原式 = ∫0 x 2 dx + ∫0 (1 + y 4 )dy =

23 . 15

笔记： 笔记：