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第六章 非线性微分方程和稳定性
在19世纪中叶,通过刘维尔的工作,人们已经知道绝大多数的微分方程不能用初等积分方法求解.这个结果对于微分方程理论的发展产生了极大影响,使微分方程的研究发生了一个转折.既然初等积分法有着不可克服的局限性,那么是否可以不求微分方程的解,而是从微分方程本身来推断其解的性质呢?定性理论和稳定性理论正是在这种背景下发展起来的.前者由法国数学家庞加莱(Poincaré,1854-1912)在19世纪80年代所创立，后者由俄国数学家李雅普罗夫(Liapunov,1857-1918)在同年代所创立.它们共同的特点就是在不求出方程的解的情况下,直接根据微分方程本身的结构和特点,来研究其解的性质.由于这种方法的有效性,近一百多年以来它们已经成为常微分方程发展的主流.本章对定性理论和稳定性理论的一些基本概念和基本方法作一简单介绍.
§6.1 引言
考虑微分方程
(6.1)
其中函数f(t,x)对x D Rn和t (-∞,+∞)连续，对x满足局部李普希兹条件. 设
dx
f(t,x ) dt
方程(5.1)对初值(t0,x1)存在唯一解x (t,t0,x1)，而其它解记作x x(t,t0,x0).现在的问题是：当x0 x1很小时，差x(t,t0,x0) (t,t0,x1)的变化是否也很小?本章向量x (x1,...,xn)的范数取x ( x).
T
i 1n
1
22i
如果所考虑的解的存在区间是有限闭区间，那么这是解对初值的连续依赖性，第2章的定理2.7已有结论.现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对初值不一定有连续依赖性(见下面的例3)，这就产生了李雅普诺夫意义下的稳定性概念.
如果对于任意给定的 0和t0 0都存在 ( ,t0) 0，使得只要x0满足
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