K0111,华师一附中2013届高一(新课标)学年教案必修(4)2.3 平面向量的基本定理及其坐标表示(一)

课 题： 2.3 平面向量的基本定理及其坐标表示

教学内容： 平面向量基本定理,平面向量的正交分解及坐标表示

教学目的： 推导并理解平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面

向量的坐标表示.

教学重点： 推导并理解平面向量基本定理

教学难点： 平面向量基本定理的运用.

教学过程：

一、课前复习

教学分析

平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.

平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合,这样,如果将平面内向量的始点放在一起,那么由平面向量基本定理可知,平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示,也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因.

在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的特殊情形,向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解,因为在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会给问题的研究带来方便.联系平面向量基本定理和向量的正交分解,由点在直角坐标系中的表示得到启发,要在平面直角坐标系中表示一个向量,最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,这时,对于平面直角坐标系内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=xi+yj.

于是,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,而有序数对(x,y)正好是向量a的终点的坐标,这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射,从而实现向量的“量化”表示,使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想.

掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.

对于平面内的任意向量a,过定点O作向量=a,则点A的位置被向量a的大小和方向所唯一确定. 如果以定点O为原点建立平面直角坐标系,那么点A的位置可通过其坐标来反映,从而向量a也可以用坐标来表示,这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.

二、讲解新课

提出问题

在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？

我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v,可分解为沿水平方向的速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα. 把一个向量分解到两个不同的方向,特别是作正交分解,即在两个互相垂直的方向上进行分解,是解决问题的一种十分重要的手段.

前面学习了向量的代数运算以及对应的几何意义,如果将平面内向量的始点放在一起,那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？通过多对几个向量进行分解或者合成,这样就引进了平面向量基本定理.

引入新课

给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2,作出向量3e1+2e2、e1-2e2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示呢?

如图,设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量,a是这一平面

内的任一向量,通过作图研究a与e1、e2之间的关系

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