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二项式定理及其应用
班级__________姓名__________
一、知识点一：二项式定理
n
(a b)n C0n1n 1b C2n 22nnkn kk
na Cnanab Cnb Cnab (n N*)．
k 0
注：1．二项展开式的通项：Trr 1 Cn
an rbr
(0 r n)，它是展开式的第r 1项； 2．二项式系数：Cr
n (0 r n)．
例1．求(x 1 1
)7x
的展开式中的常数项．
解：由二项式定理得：
(x 1 1101121r17
1x)7 [1 (x x)]7 C7 C7(x x) C7(x x)2 C7(x x)r C7(x x
)7；①
其中第r 1 (0 r 7)项为：T
r
1rr 1 C7
(x x
)；② 在(x 1
x)r的展开式中，设第k 1项为常数项，记为Tk 1；
则Tk k1
k 1 Crxr(x
)k Ckrxr 2k, (0 k r) ③
由③得：r 2k 0即r 2k，r为偶数，
再根据①、②知所求常数项为C07
C2142C63
7C7 C7C7 7C6 393． 【注】求某一项时用二项展开式的通项．
例2．求(1 2x 3x2)6的展开式里x5的系数． 解：因为(1 2x 3x2)6 (1 3x)6(1 x)6
[1 C1 3x C2)2 C336)6][1 C12233445566
66 (3x6 (3x) C6 (3x6x C6x C6x C6x C6x C6x]
所以(1 2x 3x2)6的展开式里x5的系数为：
1( C5142332
6) 3C6 C6 32C6( C6) 33C6 C6
34C4156 ( C6) 35C6 1 168． 【注】本题也可将(1 2x 3x2)6化为[1 (2x 3x2)]6用例1的作法可求得．
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