浅谈几何辅助线的作法

1997年第2期　　　　　　　　　　　　数学教学研究　　　　　　　　　　　　　　　　　　29

项得

原式=(sin20°+cos50°)2-sin20°cos50°=

(2sin30°)2-cos10°

1

(70°-sin30°)=cos210°-2sin

11113cos20°+=cos210°-cos210°++=.24244

又∵sin20°-2

3

cos50°=

3

(sin20°-2

分析3　注意到所给式是立方差公式的一个因式,又可得

∵sin3x=3sinx-4sinx,cos3x=4cosx

33

-3cosx,∴sinx=,cosx=4.

4

∴sin320°-cos350°=

4

=4(sin20°-cos50°).

3

3

cos50°)(sin20°+sin20°cos50°+cos50°),

22∴sin20°+sin20°cos50°+cos50°=4.

22

分析4　注意原式=sin20°+sin40°+

联想余弦公式,可构造三角形,sin20°sin40°设A=20°,B=40°,C=120°,则有

2

+sin240°-2sin20°sin20°sin40°cos120°=sin2120°=.

4

通过以上两例可以看出,从题目的结构

特征出发,寻求解题方法,是一种由表及里的思维方法,它有利于开阔学生思路,提高观察分析问题的能力。其实,这种思想不仅适用于三角问题,在代数,几何的证明中也常用到,应使学生掌握.

浅　谈　几　何　辅　助　线　的　作　法

卞　文　(山东省临沭县五中　276708)

　　几何证明一般都离不开作辅助线,因此,

能否快速、准确地作出所需辅助线,便成为几何证题的关键.现就部分几何辅助线的作法作如下探讨.

一、题设中含有中点、直角三角形,可作过中点的中线,平行线或中位线

例1　在△ABC中,AD是BC边上的中线,过点B作射线BE分别交AC、AD于点E、F.已知AF∶FD=1∶3,求AE∶EC

.

分析　如图1,题设中含中点D,可过点D作DG∥AC,

交BE于点G,可以

图1得出△AEF∽

△DGF和DG　EC,于是有AE∶EC=

2

1∶

6.

　　例2　在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线与腰相交成直角,求证AB=DC.

分析　题设中含

图2

有直角三角形,可作其中线为辅助线.

证明　如图2,取BC的中点E,连AE、DE,则AE、DC分别为Rt△ABC和Rt△DCB的中线.

∵BC为公共边,

∴AE=DE,∴∠ADE=∠DAE.∵AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB,

∠ADE=∠DEC,∴∠AEB=∠DEC.又∵E为BC中点,且AE=ED∴△ABE≌△DCE,∴AB=DC.二、题设中含有垂线、角平分线或邻边相等的多边形,可绕轴翻转或绕一点旋转一个