10级数值计算方法A复习题

（1）验证在此区间用上用二分法求根的可行性，并计算逐步缩小的区间[a1 , b1] 和[a2 , b2]； （2）若用简单迭代法求此根，试分析并构造一个在[a0 , b0]上能保证收敛的迭代式xk 1 (xk)。 （3）分析用牛顿迭代法求此根的可行性，并取初值x0，完成第1次迭代计算。

111 x1 4

10、分别用Gauss消元法和Doolittle分解法求解线性方程组213 x2 7。 316 x3 2

11、关于某函数y=f(x)，已知如下表所示的一批数据

（1）由上表中的数据构建差商表，并求出各阶差商； （2）分别用二点、三点牛顿插值法计算f(1.25)的近似值； （3）分别用复化梯形积分和复化辛普森积分计算

20

f(x)dx的近似值。

（4）若用y=a+bx2来拟合这一批数据，试求出系数a和b（提示：令v=x2，问题转化为求拟合直线y=a+bv）；（请注意其它曲线拟合的线性转换问题） 12、验算用辛普森积分公式S(f) 达到的代数精度是几阶。

bb aa b

[f(a) 4f() f(b)]计算I(f) f(x)dx时所能

a62

10x 2y z 3

13、若用Jacobi迭代法求解线性方程组 2x 10y z 15：

x 2y 5z 10

（1）写出经过等价变换而得到的Jacobi迭代格式Xk 1 BXk f； （2）求出迭代矩阵B的行范数B

和列范数B1，并说明B能否保证迭代收敛。

（3）从原方程组的系数矩阵能否判断Jacobi迭代法收敛？请说明理由。

(k)(k)(k) U V/14、写出用反幂法 (k 1)

U(k) AV

53

,(k 0,1,2, )求矩阵A 20 的按模最小特征值的前

两步迭代计算过程与结果。初始向量取V(0) =U(0)=( 1 , 1 )T。（提示：先对A作LU分解）

dy/dx y2

15、用改进欧拉法求初值问题 在区间[0.0 , 0.4]上的解，取步长h=0.1。计算结果保留

y(0.0) 1.0

到小数点后面3位。（此类问题还要掌握线性多步法的构造）

16、设P(x) x 3x 3x 1，用下面两种不同的方法计算P(2.19)的值，并与真值

进行比较，估计两个结果数据的绝对误差限，并说明产生差别的原因： P*(2.19) 1.685159

（1）直接按表达式计算；（2）按P(x) ((x 3)x 3)x 1计算。

2

注意：中间数据和最后结果均按3位舍入法取值，如2.19 4.80，(2.19 3) 2.19 1.77。 17、用Jacobi法求实对称矩阵

3

2

4 3

的全部特征值和特征向量。（另：任给一个实对称矩阵，

34

你是否会构造Jacobi法的第一个正交矩阵并完成第一次正交变换？）

18、若取初值I0=ln6-ln5，按式In=(1/n)-5In-1 (n=1 , 2 , 3 ，…)递推计算，试估算I1和I2的误差（取