当前位置： 文档下载 > 所有分类 > 高等教育 > 理学 > 第二章 矩阵补充习题(含答案)第二章 矩阵补充习题
1．已知对于n阶方阵A，存在自由数k，使得A 0，试证明矩阵E–A可逆，并写出其逆矩阵的表达式（E为n阶单位阵）．
【详解】 由代数公式1-ak (1 a)(1+a+ +ak-1)以及A与E可交换，有
k
E-Ak (E A)(E+A+ Ak 1)，而Ak 0
故有(E A)(E+A+ Ak 1) E 可知E–A可逆，且有
-1
（E-A） E+A+ Ak 1．
2．设A为n阶非奇异矩阵， 为n维列向量，b为常数．记分块矩阵
EP T*
A
*
0 A，Q TA
，
b
其中A是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵． (1) 计算并化简PQ；
(2) 证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是 A b．
【分析】 本题的关键是对于含A的计算或证明题，首先应联想到关系式
*
T 1
AA* A*A AE．另外，在进行矩阵乘法运算中要注意哪些是矩阵，哪些是向量，哪些
是数，左乘还是右乘．
【详解】 （1）因AA AA AE，故
*
*
EPQ T*
A
A =
0
（2）由（1）可得 P
2
0 A TA
T*T
b AA A
A
TA* bA
． T 1
A b A b T
1
A ，
而PQ PQ,且P A 0,，故
1 T A ． Q b
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