答案--二次函数-平行四边形存在性问题

二次函数中的平行四边形问题

类型一：已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足） 1.【08湖北十堰】已知抛物线y ax2 2ax b与x轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C．

⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标； ⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；

⑶坐标平面内是否存在点M,使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M的坐标；若不存在,请说明理由． 解：⑴对称轴是直线：x 1，点B的坐标是(3,0)． ……2分

说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分．

⑵如图，连接PC，∵点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B (3,0)，

11

∴AB＝4．∴PC AB 4 2．

22

在Rt△POC中，∵OP＝PA－OA＝2－1＝1， ∴OC PC2 PO2 22 12 3

∴b＝ ………………………………3分 当x 1，y 0时， a 2a 0，

． ………………………………4分 3

223

∴y x x 3 ………………5分

33

∴a

⑶存在．……………………………6分

理由：如图，连接AC、BC．设点M的坐标为M(x,y)．

①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM＝AB． 由⑵知，AB＝4，∴|x|＝4，y OC

．

∴x＝±4．∴点M的坐标为M(4,)或( 4,)．…9分

说明：少求一个点的坐标扣1分．

②当以AB为对角线时，点M在x轴下方． 过M作MN⊥AB于N，则∠MNB＝∠AOC＝90°．

∵四边形AMBC是平行四边形，∴AC＝MB，且AC∥MB．

∴∠CAO＝∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN＝AO＝1，MN＝CO

∵OB＝3，∴0N＝3－1＝2．

∴点M

的坐标为M(2,． ……………………………12分

说明：求点M的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式，

然后求交点M的坐标的方法均可，请参照给分．

综上所述，坐标平面内存在点M，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标

为M1M2( M3(2,．

说明：①综上所述不写不扣分；②如果开头“存在”二字没写，但最后解答全部正确，不扣分。