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第一章 复变函数
复数的代数式:z=x+iy
复数的三角式和指数式:z (cos sin )和z ei
1iz
(e e iz)2i
欧拉公式:{
1iz
cosz (e e iz)
2
sinz
u u x y
柯西-黎曼方程(或称为柯西-黎曼条件):{ (其中f(z)=u+iv)
v v x y
函数f(z)=u+iv在点z0及其领域上处处可导,则称f(z)在z0点解析.在区域B上每一点都解析,则称f(z)是在区域B上的解析函数.
解析函数的性质:1.若函数f(z)=u+iv在区域B上解析,则u(x,y) C1,v(x,y) C2
(C1,C2为常数)是B上的两组正交曲线族.
2.若函数在区域B上解析,则u,v均为B上的调和函数,即
2u 2v
0
x2 y2
例题: 已知某解析函数f(z)的实部u(x,y) x y,求虚部和这个解析函数.
2
2
2u 2v 2u 2v
解答: 由于2=2;2=-2;则2 2 0
x y x y
曲线积分法
u v u v
=2x;=-2y.根据C-R条件有:=2y;=2x. x x y y
于是 dv 2ydx 2xdy;
v
(x,y)(x,y)
(2ydx 2xdy) C
(x,0)
(0,0)
(2ydx 2xdy)
(x,y)
(x,0)
(2ydx 2xdy) C
(x,0)
2xdy C 2xy C
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