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初中数学竞赛辅导资料6
基本对称式
甲内容提要
1. 上一讲介紹了对称式和轮换式的定义和性质. 形如x+y和xy是两个变量x, y的基本对称式.
2. 含两个变量的所有对称式，都可以用相同变量的基本对称式来表示.
例如x2+y2, x3+y3, (2x－5)(2y－5), －22yx， ……都是含两个变量xy3x3y
的对称式，它们都可以用相同变量x,y的基本对称式来表示：
x2+y2＝（x+y）2－2xy， x3+y3＝（x+y）3－3xy(x+y)， (2x－5)(2y－5)＝4xy－10(x+y)+25, －22（2x y) =－, 3x3y3xy
yxy2 x2(x y)2 2xy ==. xyxyxy
3. 设x+y=m, xy=n.
则x2+y2＝（x+y）2－2xy＝m2－2n；
x3+y3＝（x+y）3－3xy(x+y)=m3－3mn；
x4+y4＝（x2+y2）2－2x2y2＝m4－4m2n+2n2；
x5+y5＝（x2+y2）(x3+y3)－x2y2(x+y)=m5－5m3n+5mn2；
………
一般地，xn+yn(n为正整数)用基本对称式表示可建立递推公式：
－－xk+1+yk+1=( xk+yk)(x+y)－xy(xk1+yk1) (k 为正整数).
4. 含x, y的对称式，x+y, xy这三个代数式之间，任意知道两式，可求第三式. 乙例题
例1. 已知x=11）(3+1), y=－1 求下列代数式的值： 22
①x3+x2y+xy2+y3 ； ②x2 (2y+3)+y2(2x+3).
解：∵含两个变量的对称式都可以用相同变量的基本对称式来表示. ∴先求出 x+y=, xy=1. 2
1 2① x3+x2y+xy2+y3 ＝（x+y）3－2xy(x+y) =(3)3－2×
=23；
② x2 (2y+3)+y2(2x+3)＝2x2y+3x2+2xy2+3y2
=3(x2+y2)+2xy(x+y)
=3［（x+y）2－2xy］+2xy(x+y)
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