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改进的牛顿迭代法求解非线性方程
史思总 西南科技大学
摘要：将非线性方程线性化，以线性方程的解逐步逼近非线性方程的解，是牛顿迭代法的基本思想。牛顿法具有收敛快、稳定性好、精度高等优点，是目前求解非线性方程的有效方法之一。牛顿法每次迭代时都需要计算函数值和导数值，计算量较大，当导数值提供有困难时，牛顿法将不再适用于求解非线性方程组。针对这种情况，提出了一种改进牛顿法——弦截法。为避免求导，弦截法采用差商近似导数，以差商方式解决求导问题。实践证明，弦切法优于大部分迭代法，仅次于牛顿法。
关键词：牛顿法、弦截法、非线性方程、差商
一、牛顿法的迭代公式
设f(x)在其零点x*附近一阶连续可微，且f (x) 0，当x0充分接近x*时，由Taylor公式有：
f(x) f(x0) f (x0)(x x0) （1）
以方程
f(x0) f (x0)(x x0) 0 （2）
近似方程f(x) 0，其解
x1 x0 f(x0) （3） f (x0)
可作为方程的近似解，重复上述过程，得迭代公式
xn 1 xn f(xn),(n 0,1, ) （4） f(xn)
该方法称为牛顿迭代法。牛顿法是一种不动点迭代法，其迭代函数为
(x) x f(x) （5） f (x)
从几何上看，牛顿法是以曲线的切线与x轴的交点作为曲线与x轴的交点的近似。故牛顿法也是一种切线法。
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