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硕士研究生招生初试试题参考解答.
数学分析
1、求a,b使下列函数在x=0处可导:
ax b,当x 0;y 2
x 1,当x<0.
解：由于函数在x=0处可导，从而连续，由f(0 0) b,f(0 0) 1，得到b=1;
又由f (0) a,f (0) 0，得到a=0.即得。
2、 已知an 0,级数
n 1
1an
散,求证级数
n 1
发散. an 1
1
证明: 用反证法。
由an 0知，级数
n 1
1an
1
，
n 1
1an 1
均为正项级数。
假设级数
n 1
1an 1
收敛，则lim
n
an 1
0，于是有
1lim
an1an 1
n
lim
1anan 1
n
lim
11
1an 1
n
1，
从而由正项级数的比较判别法知级数
n 1
1an
n
收敛，矛盾，从而得证。
1
3、 设m,n 0为整数,求积分 x(1 x)dx的值.
1
m
解：设I(m,n)= x(1 x)dx,则由分部积分法有
mn
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