2012高考数学平面向量【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】

2012高考数学

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

平面向量

一．向量有关概念：

1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如：

（4）已知 ABC中，点D在BC边上，且CD四．实数与向量的积：实数

2DB，CD rAB sAC

，则r s的值是___

（答：0）

已知A（1,2），B（4,2），则把向量AB按向量a＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0）） 2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；

AB3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是 )；

|AB|

4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

与向量的积是一个向量，记作 ，它的长度和方向规定如下：

1 a a, 2 当 >0时， 的方向与的方向相同，当 <0时， 的方向与的方向相反，

当 ＝0时， a 0，注意： ≠0。

1．两个向量的夹角：对于非零向量，，作OA a,OB b， AOB

五．平面向量的数量积：

5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。 提醒：

①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；

0 称为向量a，b的夹角，当 ＝0时，a，b同向，当 ＝ 时，a，b反向，当 ＝

垂直。

时，a，2

③平行向量无传递性！（因为有0)；

AC共线； ④三点A、B、C共线 AB、

2．平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为 ，我们把数量|a||b|cos 叫做a与b的

数量积（或内积或点积），记作： ，即 ＝abcos 。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注

意数量积是一个实数，不再是一个向量。如

（1）△ABC中，|

下列命题：（1）若a b，则a b。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若

bb,c ，则A（4）若A则AB DC。（5）若a 则a c。AB DC，BCD是平行四边形。BCD是平行四边形，

（6）若a//b,b//c，则a//c。其中正确的是_______（答：（4）（5））

二．向量的表示方法：

6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。如

AB| 3，|AC| 4，|BC| 5，则AB BC _________

（答：－9）；

（2）已知a (1,

1 1

),b (0, ),c a kb,d a b，c与d的夹角为，则k等于____ 224

（答：1）；

b 3，则a b等于____

（3）已知a 2,b 5,a

，注意起点在前，终点在后；

2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；

1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如

3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，

（4）已知a,b是两个非零向量，且a b a b

，则a与a b的夹角为____

；

任一向量可表示为a xi yj x,y ，称 x,y 为向量的坐标，＝ x,y 叫做向量的坐标表示。

一对实数 1、 2，使a= 1e1＋ 2e2。如 （1）若a (1,1),b

j为基底，则平面内的

3．b在a上的投影为|b|cos ，它是一个实数，但不一定大于0。如

（答：30）

如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

三．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有

1 3 (1, 1),c ( 1,2)，则c ______（答：a b）；

22

e1 ( 1,2),e2 (5,7) 13e1 (2, 3),e2 (, )

24

（答：B）；

12

a| 3，|b| 5，且a b 12，则向量a在向量b上的投影为______（答：）

5

4． 的几何意义：数量积 等于的模|a|与在上的投影的积。

已知|

5．向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为 ，则：

（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是

A. e1 (0,0),e2 (1, 2) B.

C. e1 (3,5),e2 (6,10) D.

①a b a b 0；

（3）已知AD,BE分别是 ABC的边BC,AC上的中线,且AD a,BE b,则BC可用向量a,b表示为

2 4

_____（答：a b）；

33

2 2 ②当，同向时， ＝，

特别地，a a a a,a ；当与反向时， ＝

b不同向，a b 0是 为锐角的必要非充分条件；当 为钝角时，－ab；当 为锐角时， ＞0，且a、

＜0，且a、 b不反向，a b 0是 为钝角的必要非充分条件；

a b

③非零向量a，b夹角 的计算公式：cos ；④|a b| |a||b|。如

ab

ab