大一高数期末考试题(精)

高数复习题一

一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

lim

　).

f(x)x

x 0

A

，

A

为常数. 求

g (x)并讨论g (x)

在

1.

（A）

不可导.

设f(x) cosx(x sinx),则在x 0处有(

x 0

处的连续性.

分

方

程

f (0) 2 （B）f (0) 1（C）f (0) 0 （D）f(x)

设 (x)

1 x1 x

， (x) 3 3x，则当x 1时（　

3

13.

求微

xy 2y xlnx

满足

2.

　）

.

y(1)

19

(x)与 (x)

的解.

（A）

是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B）

(x)与 (x)是等价无穷小；

（C）

(x)是比 (x)高阶的无穷小； （D） (x)

是比

(x)高阶的无穷小.

)

x3.

若

F(x0

(2t x)f(t)dt

，其中

f(x)

在区间上

( 1,1)二阶可导且

f (x) 0，则（ ）.

（A）函数

F(x)必在x 0处取得极大值； （B）函数

F(x)必在x 0处取得极小值；

（C）函数

F(x)在x 0处没有极值，但点

(0,F(0))为曲线

y F(x)的拐点；

（D）函数

F(x)在x 0

处没有极值，点

(0,F(0))也不是曲线

y F(x)的拐点。

4.

设f(x)是连续函数，且

f(x) x 2

1

f(t)dt , 则f(x) ()

x

2

x

2

2

（A）2 （B）2（C）x 1 （D）

x 2.

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

2

5. lim(1 3x)

sinx

x 0

.

6.

已知

cosxx

是f(x)的一个原函数,

则 f(x)

cosxx

dx

.

2

2 7.

nlim

n

(cos

2

n

cos

n

cos

2

n 1n

)

.

12

2

xarcsinx 1

2

dx

8. －

11 x

2

.

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）

9.

x y

设函数

y y(x)由方程e

sin(xy) 1确定，求

y (x)

以及

y (0).

求1 x

7x.

10.

x(1 x7

)

d

f(x) xe x

，　　设x 0

11.

1 　求

f(x)dx．

2x x2

，0 x 1 3

1

12.

设函数

f(x)

g(x)

f(xt)dt

连续，

，且

四、 解答题（本大题10分）

14. 已知上半平面内一曲线y

y(x)

(x 0)，过点(0,1)

，且曲线上任一点

M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x

轴、

y轴、直线

x x

0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.

五、解答题（本大题10分）

15. 过坐标原点作曲线

y lnx

的切线，该切线与曲线

y lnx

及x 轴围成平面图形D.

(1)

求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体

的体积V.

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

16. 设函数

f(x)

在

0,1 上连续且单调递减，证明对任意的

q

1

x)dx qq [0,1]

f( f(x)dx

，

.

f(x)dx 0

17. 设函数f(x)在 0, 上连续，且0

，

f(x)cosxdx 0

.证明：在

0, 内至少存在两

个不同的点

1, 2，使f( 1) f( 2) 0.（提示：设

x

F(x)

f(x)dx

）

答案

一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

1cosx2

e

6

5.

. 6.

2(x

) c.7.

2

.

8.3.

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导

x y

e

(1 y ) cosxy(xy)( y )

x yy (x)

e ycos(xy)e

x y

xcos(xy)

x 0,y 0，

y (0) 1

6

10.

解：u

x7

　　7xdx du

原式

1

(1 u)

7 u(1 u)

17

(

1u

2u 1

)du