初中数学 二次函数

初中数学 二次函数

高中数学精神讲义（二）

──二次函数与命题

一、基础知识

1．二次函数：当0时，y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c称为关于x的二次函数，其对称轴为直线x=-，另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=-，下同。

2．二次函数的性质：当a>0时，f(x)的图象开口向上，在区间（-∞，x0]上随自变量x增大函数值减小（简称递减），在[x0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当a<0时，情况相反。

3．当a>0时，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0 ①和不等式ax2+bx+c>0 ②及ax2+bx+c<0 ③与函数f(x)的关系如下（记△=b2-4ac）。

1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x1,x2(x1<x2)，不等式②和不等式③的解集分别是{x|x<x1或x>x2}和{x|x1<x<x2}，二次函数f(x)图象与x轴有两个不同的交点，f(x)还可写成f(x)=a(x-x1)(x-x2).

2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x1=x2=x0=,不等式②和不等式③的解集分别是{x|x}和空集，f(x)的图象与x轴有唯一公共点。

.f(x)图象与x轴3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R和

无公共点。

当a<0时，请读者自己分析。

4．二次函数的最值：若a>0，当x=x0时，f(x)取最小值f(x0)=,若a<0，则当x=x0=时，f(x)取最大值f(x0)=.对于给定区间[m,n]上的二次函数

f(x)=ax2+bx+c(a>0)，当x0∈[m, n]时，f(x)在[m, n]上的最小值为f(x0); 当x0<m时。f(x)在[m, n]上的最小值为f(m)；当x0>n时，f(x)在[m, n]上的最小值为f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出）。

定义1 能判断真假的语句叫命题，如“3>5”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。

注1 “p或q”复合命题只有当p，q同为假命题时为假，否则为真命题；“p且q”复合命题只有当p，q同时为真命题时为真，否则为假命题；p与“非p”即“p”恰好一真一假。

定义2 原命题：若p则q（p为条件，q为结论）；逆命题：若q则p；否命题：若非p则q；逆否命题：若非q则非p。

注2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。

注3 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。