第09讲 枚举法

第09讲 计数问题第01讲

枚举法

例1 如图9—1，有八张卡片，上面写着自然数1至8．从中取出三张，要使三张卡片上的数字之和为9．问有多少种不同的取法

?

答案 3种．

分析 三个数之和为9，则这三个数中任两个数之和必小于9，依据这个原则进行枚举就可以．而且三个数中不能写有7、8，否则三数和必大于9．

详解 由于三个数和为9，且最小二个数可取1和2，所以最大的数只可为6．这样依据最大的数从6不断往下取来枚举：

6、2、1；5、3、1；4、3、2．

共有3种不同取法，所以答案为3．

评注 通常解题时，应从条件推出一些基本结论，这样可以减少枚举的范围，得出结论． 例2 现有1分、2分和5分的硬币各四枚，用其中的一些硬币付2角3分钱，一共有多少种不同的支付方法?

答案 5种．

分析 由于要付2角3分钱，而其中1分、2分的硬币加起来共3×4=12分，因此必须用上5分硬币，而且至少要3枚5分硬币，否则最多只能付2角2分钱(因为12+2×5=22分)．

详解 由于所有1分、2分硬币加起来共1角2分，因而至少要另外付3个5分硬币．所以分用去4个5分硬币和3个5分硬币两种情况枚举：

①先付3个5分便币，再用1分、2分币付剩下的8分钱．这时有用4个2分、3个2分和2个1分、2个2分及4个1分共3种情形．

②先付4个5分硬币，再用1分、2分付剩下的3分钱．这时有用1个2分1个1分、3个1分共2种情形．

所以，一共有5种不同的支付方法．

例3 有3个工厂共订300份《吉林日报》，每个工厂最少订99份，最多101份．问：一共有多少种不同的订法?

答案 7种．

分析 3个工厂共订300份，最少订99份，这里先把99份作为基本订数，因而相当于把剩下的3份在3个工厂间分配一下．又由于最多101份，也即是一个工厂最多再分配2 份．这样再按0、1、2枚举即可．

详解 先考虑用每个工厂订99份为基数，剩下的3份报纸分配在3个工厂中可以有以下几种方式：0、1,2；0、2、1；1、0、2；1、2,0；1、1、1；2、0、1；2、1、0．共7种的订法．对应实际份数为：99、100、101；99、101、100；100、99、101；100、101、99； 100、100、100；101、99、100；101、100、99．一共有7种不同的订法． ’

例4 有25本书，分成6份，每份至少1本，且每份的本数都不相同．问有多少种分法7 ．

答案 5种分法．

分析 这里每份至少1本且每份的本数都不相同，这样6份至少有1+2+3+4+5+6=21本书；