普通高中新课程标准数学(必修1)基础知识点

知识点归纳

第一章 集合与函数概念

一、集合

1．集合的定义： 2．集合的性质：① ② ③ ； 3．集合的表示方法：① ② ③ ； 4．集合与元素的关系的表示：

5．集合的分类： 6．子集（A是B的子集）定义：； 7．真子集的定义：；

特别地空集 是 ；

含有n个元素的集合的子集数有 个，真子集数有 个，非空真子集数有 个。 8．用数学符号表示交集、并集与补集

9．A B ；A B 设U为全集，则A在U中的补集ðUA A B,B A A B A B B B A

A B B A B

二、 函数

（一）、函数的概念 1．函数的定义(三种):

①.如果在某个运动变化过程中有两个变量x、y,并且 ,那么称y是x的函数, x叫做自变量,记为y f(x)；

②.如果有两个 集合, ,称这种集

合A到集合B的对应f:A B,叫做集合A到集合B的一个函数,其中 叫做自变量叫做定义域, 叫做函数值, 叫做值域；

③.函数是 的映射.

2．函数三要素: (灵魂), (核心), ；一般来讲,函数的定义域就是函数的定义中的集合 ,而值域C f(x)x A B,即集合B 是值域. 3．映射: ①定义: , ②.象与原象: ,③一一映射: 4．从映射的角度看,函数的定义域就是 ,值域为 .

5．函数与映射的关系:函数 是映射,而映射 是函数,函数作为特殊映射,其特殊性表现有两个方面: 与 .

6．函数的表示方法有, , , .要正确理解分段函数的概念.

7．函数的解析式就是函数中两个变量之间的关系的一个数学表达式,只要两个函数有相同的 与 就是同一个函数。 （二）、求函数的定义域和值域的方法

1．定义域就是 的集合,基本的知识有:分式的分母 , 偶次根式的被开方数 ,对数式的 . 2．求定义域的类型和方法有: ①.实际问题函数的定义域; ②.给出函数的解析式求定义域; ③.复合函数的定义域:若f(x)的定义域为A,则f g(x) 的定义域就为 的集合,或f g(x) 的定义域为A,则f(x)的定义域就为 的集合.

3．函数的值域 与 ,因此无论用什么方法求函数的定义域,都应首先考虑函数的 ,这就是“ ”原则.

4．求函数的值域的方法: ①.直接法(观察法); ②.分离变量法(针对简单的分式如

y

ax bcx d

(c 0),可以分离为从而可得函数的值域为③.配方法(适用于 函数或可化为F(x) af2(x) bf(x) c类型);④. 换元法:主要有两种换元方法 与 ,

如函数f(x) x 得值域为 ,

函数f(x) x 可采用得值域为⑤.数形结合法.

（三）、函数的单调性

1．定义:给定区间D上的函数f(x),若对于任意的x1、

x2 D,当x1 x2时,都有或 ),则称f(x)是区间D上的增函数(或减函数),区间D称为函数f(x)的单调区

间.一般地,若函数f(x)在区间D上是增(减)函数,则称区间D为函数f(x)的严格单调递增(减)区间. 2．函数单调性定义中“严格”的意思是 .

3．“函数的单调区间是D”与“函数在区间D上单调”一样吗? .

4．单调函数反映在图象上: 函数f(x)在区间D上是增(减)函数,则图象在区间D上的部分从左到右是 的.

5．判断函数的单调性的常用方法:(1)定义法:①任取x1,x2 D,令x1 x2；②作差

f(x1) f(x2)；③变形(因式分解, ， ；④ ；⑤结论.(2)

单调性的四则运算性质: ①两个增(减)函数的和为 ； ②一个增(减)函数与一个减(增)函数的差为 .(3)奇函数在对称区间上有 的单调性,偶函数在对称区间上有 的单调性.(4)互为反函数的两个函数如果有单调性,则一定有 的单调