不同傅里叶变换形式直接的联系

各种傅里叶变换直接的联系与推导

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傅里叶变换形式之间内在联系的推导

宗雯

中国矿业大学计算机科学与技术学院，江苏徐州（221116）

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摘要：本文从广义傅里叶级数出发，推导出了连续周期函数傅里叶级数（CFS），再利用求极限的方法推导出了非周期连续函数的频谱分析方法（CFT）。通过理想采样，建立起了离散域与连续域之间的联系。利用连续域的结论，通过理想采样，得到了离散傅里叶级数（DFS）和序列的傅里叶变换（SFT），找到了离散域的频谱分析方法。最后又根据DFT的公式，揭示了DFT的本质含义，并找到了DFT，SFT和CFT之间的联系。通过过这些推导过程体现出不同傅氏变换形式之间的内部联系和统一性。

关键词：广义傅里叶级数; 信号分解; 傅里叶变换;理想采样

1．引言

傅里叶变换是信号分解中最常用分解方式，傅里叶变换将形式不同的信号分解为频率不同的基本信号的线性叠加。随着傅里叶变换的不断发展，傅里叶变换出现了不同的形式。有连续信号的傅里叶级数（continuous signal Fourier series）、连续信号的傅立叶变换(continuous signal Fourier transform)、离散信号的傅里叶级数(series Fourier transform)、离散信号的傅里叶变换(discrete signal Fourier transform)和离散傅里叶变换（discrete Fourier transform）。虽然形式不同，但这些都是由广义傅里叶级数这种信号分解方式发展而来，揭示它们之间的联系有助于对各种不同傅氏变换的理解。

2．函数的正交分解与广义傅里叶级数

正交函数：f1(t)和f2(t)是定义在（t1,t2）上的函数，若

和f2(t)在（t1,t2）是正交的[1]。

正交函数集：设有一函数集{g1(t),g2(t),…,gN(t)},它们在定义在区间（t1,t2）上，如果对于所有的i, j(可取1，2，… ,N)都有 ∫t2t1f1(t)f2(t)*dt=0，则称f1(t)

∫t2

t1 0 ，i≠jg1(t)g2(t)dt= ， K，ij= i*

则该函数集就称为区间（t1,t2）上正交函数集。

完备正交函数集：如果在正交函数集之外，找不到另外一个非零函数与该函数集中每一个函数都正交，则称该函数集为完备正交函数集。信号分析中常用的完备正交函数集有{1,cos(n t), sin(n t),n=1,2, …}和{ejn t,n=0,±1, ±2, …}。

广义傅里叶级数：设{gi(t)}是定义在区间（t1,t2）上关于某一类函数f(t)的完备正交函数集，则此类信号中的任意一个信号f(t)都可以表示为{gi(t)}的线性组合。

f(t)=∑cigi(t) ,（t1<t<t2） (1-1)

i=1

式中，ci为加权系数,且有