傅里叶变换本质及其公式解析

傅里叶变换的本质

傅里叶变换的公式为

F( )

f(t)e

j t

dt

可以把傅里叶变换也成另外一种形式：

F( )

1

f(t),ej t 2

可以看出，傅里叶变换的本质是内积，三角函数是完备的正交函数集，不同频率的三角函数的之间的内积为0，只有频率相等的三角函数做内积时，才不为0。

ej 1t,ej 2t ej( 1 2)tdt 2 ( 1 2)

下面从公式解释下傅里叶变换的意义 因为傅里叶变换的本质是内积，所以f(t)和e

j t

求内积的时候，只有f(t)中频率为 的分量

j t

才会有内积的结果，其余分量的内积为0。可以理解为f(t)在e

上的投影，积分值是时间从负

j t

无穷到正无穷的积分，就是把信号每个时间在 的分量叠加起来，可以理解为f(t)在e影的叠加，叠加的结果就是频率为 的分量，也就形成了频谱。

傅里叶逆变换的公式为

上的投

1

f(t)

2

j t

F( )ed

下面从公式分析下傅里叶逆变换的意义

傅里叶逆变换就是傅里叶变换的逆过程，在F( )和e

j t

求内积的时候，F( )只有t时

刻的分量内积才会有结果，其余时间分量内积结果为0，同样积分值是频率从负无穷到正无穷的积分，就是把信号在每个频率在t时刻上的分量叠加起来，叠加的结果就是f(t)在t时刻的值，这就回到了我们观察信号最初的时域。

对一个信号做傅里叶变换，然后直接做逆变换，这样做是没有意义的，在傅里叶变换和傅里叶逆变换之间有一个滤波的过程。将不要的频率分量给滤除掉，然后再做逆变换，就得到了想要的信号。比如信号中掺杂着噪声信号，可以通过滤波器将噪声信号的频率给去除，再做傅里叶逆变换，就得到了没有噪声的信号。

优点：频率的定位很好，通过对信号的频率分辨率很好，可以清晰的得到信号所包含的频率成分，也就是频谱。

缺点：因为频谱是时间从负无穷到正无穷的叠加，所以，知道某一频率，不能判断，该频率的时间定位。不能判断某一时间段的频率成分。

例子：

平稳信号：x(t)=cos(2*pi*5*t)+cos(2*pi*10*t)+cos(2*pi*20*t)+cos(2*pi*50*t)