经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式

高中数学教学整理得一点资料

几个经典不等式的关系

一 几个经典不等式

（1）均值不等式

设a1,a2, an 0是实数

a a a12n

111n + a1a2an

其中ai 0,i 1,2, n.当且仅当a1 a2 an时，等号成立.

n

（2）柯西不等式

设a1,a2, an,b1,b2, bn是实数，则

a

21

22 a2 an b12 b22 bn2 a1b1 a2b2 anbn

2

当且仅当bi 0(i 1,2, ,n)或存在实数k，使得ai kbi(i 1,2, ,n)时，等号成立.

（3）排序不等式

设a1 a2 an，b1 b2 bn为两个数组，c1，c2， ，cn是b1，b2, ，bn的任一排列，则

a1b1 a2b2 anbn a1c1 a2c2 ancn a1bn a2bn 1 anb1 当且仅当a1 a2 an或b1 b2 bn时，等号成立.

（4）切比晓夫不等式

对于两个数组：a1 a2 an，b1 b2 bn，有

a1b1 a2b2 anbn a1 a2 an b1 b2 bn a1bn a2bn 1 anb1

nnnn

当且仅当a1 a2 an或b1 b2 bn时，等号成立.

二 相关证明

（1）用排序不等式证明切比晓夫不等式 证明：由

a1b1 a2b2 anbn a1 a2 an b1 b2 bn

nnn

n a1b1 a2b2 anbn a1 a2 an b1 b2 bn

而

a1 a2 an b1 b2 bn a1b1 a2b2 anbn a1b2 a2b3 anb1 a1b3 a2b4 anb2 a1b4 a2b5 anb3

a1bn 1 a2bn anbn 2

a1bn a2b1 anbn 1

根据“顺序和 乱序和”（在n 1个部分同时使用），可得

n a1b1 a2b2 anbn a1 a2 an b1 b2 bn

即得

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