含参数的函数如何讨论导数问题

含参数的函数如何讨论导数问题

1 x axe. 例.已知函数 f(x) 1 x

(Ⅰ) 设a >0, 讨论 y = f (x) 的单调性;

(Ⅱ) 若对任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) >1, 求 a的取值范围.

解题指导:本题主要考查分类讨论的数学思想和导数的计算、应用导数研究函数单调性的基本方法，考查逻辑推理能力.本题的解法是常规方法, 但需要我们函数概念清楚、逻辑推理能力强. 解答时需要注意三点, 一是本类题目应该对参数a进行分类讨论, 而不是对函数的定义域分类讨论, 具体到本题, 应该分0<a<2, a=2, a>2三种情况讨论. 二是在函数单调性判定定理“在一个区间上导数恒正（负）, 则函数在这个区间上单增（减）”中,“区间”这个条件也是不能少的, 本小题函数的定义域不是区间, 需要把定义域分成区间, 再判定函数在每一区间的单调性. 三是注意细节, 如数学符号书写应该正确, 以及本小题两问中参数a的变化范围不同. 解答如下.

解: (Ⅰ) 函数f (x)的定义域为(-∞, 1)∪(1, +∞), 导数为 ax2 2 a ax f (x) e. 2(1 x)

(ⅰ) 当0<a<2时, 导数恒正, 故f (x) 在区间 (-∞, 1), (1, +∞) 为增函数. (ⅱ) 当a=2时, f (x) 0,(x 0,x 1),故f (x) 在区间 (-∞, 1), (1, +∞)仍为增函数.

(ⅲ) 当a>2时, 解f (x) 0得x =±a 2,

a

f (x) 在区间 (-∞, -a 2a 2), (, 1), (1, +∞) 为增函数, aa

f (x) 在区间 (-a 2a 2,)为减函数. aa

(Ⅱ) 参数a的变化范围和(Ⅰ) 不同, 但由(Ⅰ) 知仍分三种情形讨论.

(ⅰ) 当0< a≤2时, 由(Ⅰ) 知f (x) 在区间 (-∞, 1) 为增函数, 故对于任意x∈(0,

1) 恒有 f (x) > f (0) =1, 因而这时a满足要求.

(ⅱ) 当a>2时, 由(Ⅰ) 知f (x) 在区间 (-a 2a 2,)为减函数, 故在区间(0, aa